Zadanie 28 - Matura podstawowa 2020 (wrzesień) - Rozwiązanie

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

a

b

prawdziwa jest nierówność

a (a + b) + b^{2} > 3 ab

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a (a + b) + b^{2} - 3 ab = (a - b)^{2} > 0

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
$a (a + b) + b^{2} > 3 ab a^{2} + ab + b^{2} > 3 ab a^{2} - 2 ab + b^{2} > 0 (a - b)^{2} > 0$
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a z założenia liczby $a$ i $b$ są różne, więc $a - b \neq = 0$ . Kwadrat liczby różnej od zera jest zawsze dodatni, zatem $(a - b)^{2} > 0$ , co kończy dowód.

Podobne zadania z działu dowodzenie