Dowody algebraiczne

Dowody nierówności i równości algebraicznych. Przekształcasz wyrażenie tak, by zobaczyć w nim kwadrat albo sumę kwadratów, a punktowany jest cały zapis rozumowania, nie sama teza.

Ten dział to średnio 0,2 zadania i 0,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 30 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych

a

b

c

takich, że

\frac{a + b}{2} > c

\frac{b + c}{2} > a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{a + c}{2} < b

Nierówność

\frac{a + c}{2} < b

jest prawdziwa, co należało wykazać.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Dodajemy stronami obie nierówności podane w założeniu:
$\frac{a + b}{2} + \frac{b + c}{2} > c + a$
2
Rozbijamy ułamki po lewej stronie na sumę i upraszczamy:
$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} \frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} > a + c > a + c$
3
Odejmujemy od obu stron nierówności $\frac{a}{2} + \frac{c}{2}$ :
$\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} - \frac{a}{2} - \frac{c}{2} b > a + c - \frac{a}{2} - \frac{c}{2} > \frac{a + c}{2}$
4
Otrzymana nierówność $b > \frac{a + c}{2}$ jest równoważna nierówności $\frac{a + c}{2} < b$ , którą należało wykazać.

Lista zadań

Matura podstawowa maj 2023 (stara formuła), zadanie 32Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność x² + y² + 5 > 2x + 4y

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Dowodzenie nierówności przez przekształcenia równoważne
Wykorzystanie tego, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny
Wzory skróconego mnożenia w dowodach
Nierówności z warunkiem, np. $a + b = 1$ albo $x > 2 y$
Dowodzenie równości wynikających z podanego warunku

Najczęstsze pytania

Najczęściej przenosisz wszystko na jedną stronę i przekształcasz różnicę tak, by zobaczyć w niej kwadrat albo sumę kwadratów. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to zamyka dowód.

Nie. Przykłady mogą co najwyżej obalić tezę, gdy któryś z nich jej przeczy. Dowód musi obejmować wszystkie przypadki, więc prowadzi się go na oznaczeniach ogólnych.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu dowody algebraiczne.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Najczęstsze pytania