Skąd wiadomo, czy kolejność ma znaczenie?

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, wariacje i kombinacje. Zliczanie, które stoi za większością zadań z prawdopodobieństwa.

Występowanie na egzaminach

zadań: 1 z 71

punktów: 3 z 250

Ostatnie5 matur

Średnio 0,6 pkt do zdobycia na arkuszu.

zadań: 9 z 278

punktów: 27 z 950

Wszystkie arkusze19 matur

Średnio 1,4 pkt do zdobycia na arkuszu.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 2Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: • na pierwszym…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 6Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: • na pierwszym…
Matura rozszerzona czerwiec 2025, zadanie 3Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą…
Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 6Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz…
Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 2Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba…
Matura rozszerzona czerwiec 2022, zadanie 7Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie…
Matura rozszerzona marzec 2021, zadanie 5Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna…
Matura rozszerzona lipiec 2020, zadanie 13Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr…

Co trzeba umieć przed maturą

Reguła mnożenia i reguła dodawania
Permutacje zbioru
Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń
Kombinacje i symbol dwumianowy
Zliczanie liczb o zadanych cyfrach oraz układów przedmiotów

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 0$ prawdziwa jest równość:

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0 \leq k \leq n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $(k n)$ (symbol Newtona):

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Prawdziwe są równości:

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot \dots \cdot ( n - k + 1 )}{k !}

(0 n) = 1

(1 n) = n

(n - 1 n) = n

(n n) = 1

(k n) = (n - k n)

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Kombinatoryka

Permutacje
Liczba wszystkich sposobów, na które $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $n!$ .

Kombinacje
Liczba wszystkich sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów ( $0 \leq k \leq n$ ), jest równa $(k n)$ .

Wariacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ (niekoniecznie różnych) wyrazów, jest równa $n^{k}$ .

Wariacje bez powtórzeń
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ różnych wyrazów ( $1 \leq k \leq n$ ), jest równa

\frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

Najczęstsze pytania

Trzeba sprawdzić, czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik. Jeśli tak, jak przy ustawianiu osób w kolejce, to wariacja lub permutacja. Jeśli nie, jak przy wyborze drużyny, to kombinacja.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu kombinatoryka.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.