Skąd wiadomo, czy kolejność ma znaczenie?

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, wariacje i kombinacje. Zliczanie, które stoi za większością zadań z prawdopodobieństwa.

Ten dział to średnio 0,2 zadania i 0,6 pkt na arkuszu.

Zadanie 4 Kombinatoryka

1 pkt

Dany jest zbiór trzynastu liczb

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

, z którego losujemy jednocześnie dwie liczby. Wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, jest

(2 13) - (2 7)

1
Iloczyn dwóch liczb jest parzysty, gdy co najmniej jedna z nich jest parzysta. Łatwiej policzyć przeciwny przypadek, gdy obie liczby są nieparzyste.
2
W zbiorze jest $7$ liczb nieparzystych ( $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ ). Dwie liczby nieparzyste możemy wylosować na $(2 7)$ sposobów. Wszystkich par jest $(2 13)$ , więc par o iloczynie parzystym jest:
$(2 13) - (2 7)$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Reguła mnożenia i reguła dodawania
Permutacje zbioru
Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń
Kombinacje i symbol dwumianowy
Zliczanie liczb o zadanych cyfrach oraz układów przedmiotów

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 0$ prawdziwa jest równość:

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0 \leq k \leq n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $(k n)$ (symbol Newtona):

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Prawdziwe są równości:

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot \dots \cdot ( n - k + 1 )}{k !}

(0 n) = 1

(1 n) = n

(n - 1 n) = n

(n n) = 1

(k n) = (n - k n)

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Kombinatoryka

Permutacje
Liczba wszystkich sposobów, na które $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $n!$ .

Kombinacje
Liczba wszystkich sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów ( $0 \leq k \leq n$ ), jest równa $(k n)$ .

Wariacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ (niekoniecznie różnych) wyrazów, jest równa $n^{k}$ .

Wariacje bez powtórzeń
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ różnych wyrazów ( $1 \leq k \leq n$ ), jest równa

\frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

Najczęstsze pytania

Trzeba sprawdzić, czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik. Jeśli tak, jak przy ustawianiu osób w kolejce, to wariacja lub permutacja. Jeśli nie, jak przy wyborze drużyny, to kombinacja.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu kombinatoryka.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Kombinatoryka

Najczęstsze pytania