Skąd wiadomo, czy kolejność ma znaczenie?

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, wariacje i kombinacje. Zliczanie, które stoi za większością zadań z prawdopodobieństwa.

Ten dział to średnio 1 zadanie i 1 pkt na arkuszu.

Zadanie 27 Kombinatoryka

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o

3

większa od cyfry jedności, jest

7

1
Oznaczamy cyfrę jedności przez $j$ , więc cyfra dziesiątek to $j + 3$ . Cyfra dziesiątek nie może być większa od $9$ .
$j + 3 j \leq 9 \leq 6$
2
Cyfra jedności może więc być równa $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ , czyli jest $7$ możliwości. Każdej odpowiada jedna liczba: $30$ , $41$ , $52$ , $63$ , $74$ , $85$ , $96$ .

Lista zadań

Matura podstawowa marzec 2021, zadanie 26Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra 7 występuje dokładnie jeden raz, jest

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Reguła mnożenia i reguła dodawania
Permutacje zbioru
Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń
Kombinacje i symbol dwumianowy
Zliczanie liczb o zadanych cyfrach oraz układów przedmiotów

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 0$ prawdziwa jest równość:

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0 \leq k \leq n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $(k n)$ (symbol Newtona):

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Prawdziwe są równości:

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot \dots \cdot ( n - k + 1 )}{k !}

(0 n) = 1

(1 n) = n

(n - 1 n) = n

(n n) = 1

(k n) = (n - k n)

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Kombinatoryka

Permutacje
Liczba wszystkich sposobów, na które $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $n!$ .

Kombinacje
Liczba wszystkich sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów ( $0 \leq k \leq n$ ), jest równa $(k n)$ .

Wariacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ (niekoniecznie różnych) wyrazów, jest równa $n^{k}$ .

Wariacje bez powtórzeń
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ różnych wyrazów ( $1 \leq k \leq n$ ), jest równa

\frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

Najczęstsze pytania

Trzeba sprawdzić, czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik. Jeśli tak, jak przy ustawianiu osób w kolejce, to wariacja lub permutacja. Jeśli nie, jak przy wyborze drużyny, to kombinacja.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu kombinatoryka.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Kombinatoryka

Najczęstsze pytania