Skąd wiadomo, czy kolejność ma znaczenie?

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, wariacje i kombinacje. Zliczanie, które stoi za większością zadań z prawdopodobieństwa.

Występowanie na egzaminach

zadań: 0 z 79

punktów: 0 z 110

Ostatnie4 egzaminy

Średnio 0 pkt do zdobycia na arkuszu.

zadań: 1 z 199

punktów: 1 z 280

Wszystkie arkusze10 egzaminów

Średnio 0,1 pkt do zdobycia na arkuszu.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2026, zadanie 5W pewnej liczbie czterocyfrowej suma cyfr jest równa 3. Ile jest liczb czterocyfrowych spełniających ten…

Co trzeba umieć przed maturą

Reguła mnożenia i reguła dodawania
Permutacje zbioru
Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń
Kombinacje i symbol dwumianowy
Zliczanie liczb o zadanych cyfrach oraz układów przedmiotów

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 0$ prawdziwa jest równość:

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0 \leq k \leq n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $(k n)$ (symbol Newtona):

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Prawdziwe są równości:

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot \dots \cdot ( n - k + 1 )}{k !}

(0 n) = 1

(1 n) = n

(n - 1 n) = n

(n n) = 1

(k n) = (n - k n)

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Kombinatoryka

Permutacje
Liczba wszystkich sposobów, na które $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $n!$ .

Kombinacje
Liczba wszystkich sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów ( $0 \leq k \leq n$ ), jest równa $(k n)$ .

Wariacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ (niekoniecznie różnych) wyrazów, jest równa $n^{k}$ .

Wariacje bez powtórzeń
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ różnych wyrazów ( $1 \leq k \leq n$ ), jest równa

\frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

Najczęstsze pytania

Trzeba sprawdzić, czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik. Jeśli tak, jak przy ustawianiu osób w kolejce, to wariacja lub permutacja. Jeśli nie, jak przy wyborze drużyny, to kombinacja.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu kombinatoryka.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.