Skąd wiadomo, czy kolejność ma znaczenie?

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania, permutacje, wariacje i kombinacje. Zliczanie, które stoi za większością zadań z prawdopodobieństwa.

Ten dział to średnio 0 zadań i 0 pkt na arkuszu.

Zadanie 5 Kombinatoryka

1 pkt

W pewnej liczbie czterocyfrowej suma cyfr jest równa

3

.

Ile jest liczb czterocyfrowych spełniających ten warunek? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

10

1
Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem, a suma wszystkich cyfr to $3$ , więc pierwsza cyfra to $1$ , $2$ albo $3$ . Rozważamy każdy z tych przypadków osobno.
2
Gdy pierwsza cyfra to $3$ , pozostałe trzy cyfry sumują się do $0$ , więc wszystkie są zerami. Pasuje tylko liczba $3000$ , czyli $1$ możliwość.
3
Gdy pierwsza cyfra to $2$ , pozostałe trzy cyfry sumują się do $1$ , więc jedna z nich to $1$ , a dwie to $0$ . Pasują $3$ liczby:
$2100$
$2010$
$2001$
4
Gdy pierwsza cyfra to $1$ , pozostałe trzy cyfry sumują się do $2$ . Są wśród nich jedna dwójka i dwa zera albo dwie jedynki i zero, więc pasuje $6$ liczb:
$1200$ , $1020$ , $1002$
$1110$ , $1101$ , $1011$
5
Dodajemy liczby możliwości z trzech przypadków.
$1 + 3 + 6 = 10$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Reguła mnożenia i reguła dodawania
Permutacje zbioru
Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń
Kombinacje i symbol dwumianowy
Zliczanie liczb o zadanych cyfrach oraz układów przedmiotów

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$ .

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \geq 0$ prawdziwa jest równość:

(n + 1)! = n! \cdot (n + 1)

Dla liczb całkowitych $n$ , $k$ spełniających warunki $0 \leq k \leq n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $(k n)$ (symbol Newtona):

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Prawdziwe są równości:

(k n) = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \cdot \dots \cdot ( n - k + 1 )}{k !}

(0 n) = 1

(1 n) = n

(n - 1 n) = n

(n n) = 1

(k n) = (n - k n)

(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)

Kombinatoryka

Permutacje
Liczba wszystkich sposobów, na które $n$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $n!$ .

Kombinacje
Liczba wszystkich sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ elementów ( $0 \leq k \leq n$ ), jest równa $(k n)$ .

Wariacje z powtórzeniami
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ (niekoniecznie różnych) wyrazów, jest równa $n^{k}$ .

Wariacje bez powtórzeń
Liczba wszystkich sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ różnych wyrazów ( $1 \leq k \leq n$ ), jest równa

\frac{n !}{( n - k )!} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)

Najczęstsze pytania

Trzeba sprawdzić, czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik. Jeśli tak, jak przy ustawianiu osób w kolejce, to wariacja lub permutacja. Jeśli nie, jak przy wyborze drużyny, to kombinacja.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu kombinatoryka.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Silnia. Współczynnik dwumianowy

Kombinatoryka

Najczęstsze pytania