Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 75

5 pkt

Rozwiąż nierówność

\frac{x - 1}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{2 - x} \geq \frac{3}{2 + x} + 2

Zapisz obliczenia.

x \in [- 3, - 2) \cup (2, \frac{5}{2}]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Mianowniki muszą być różne od zera, czyli $x^{2} - 4 \neq = 0$ , $2 - x \neq = 0$ oraz $2 + x \neq = 0$ . Stąd $x \in R ∖ {- 2, 2}$ .

Zadanie 8 Funkcje

1 pkt

Punkt

A = (1, 2)

należy do wykresu funkcji

f

, określonej wzorem

f (x) = (m^{2} - 3) x^{3} - m^{2} + m + 1

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wtedy

Zadanie 8 Nierówności

3 pkt

Rozwiąż nierówność

\frac{3 x + 1}{2 x + 1} \leq \frac{3 x + 4}{2 x + 3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Liczby naturalne

1 pkt

Na tablicy zapisano wszystkie różne liczby dwucyfrowe, które jednocześnie spełniają trzy warunki: są mniejsze od

40

, są podzielne przez

3

, suma cyfr każdej z nich jest większa od

7

.

Ile liczb zapisano na tablicy? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 8 Nierówności

1 pkt

Dana jest nierówność kwadratowa

(3 x - 9) (x + k) < 0

z niewiadomą

x

i parametrem

k \in R

. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział

(- 2, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

k

jest równa

Zadanie 8 Dowody geometryczne

4 pkt

Dany jest trapez równoramienny

A B C D

o obwodzie

l

i podstawach

A B

oraz

C D

takich, że

∣ A B ∣ > ∣ C D ∣

. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna

A C

trapezu ma długość

d

(zobacz rysunek).

Wykaż, że promień

R

okręgu opisanego na trapezie

A B C D

jest równy

\frac{d \cdot l}{2 16 d ^{2} - l ^{2}}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

60

jest

Zadanie 8 Wartość bezwzględna

1 pkt

Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

Zadanie 8 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Informacja do zadań 7. i 8.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 5 x

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona wzorem

g (x) = 2 x^{2} - 5 x

. Wykres funkcji

g

jest

Zadanie 8 Planimetria

3 pkt

Punkt

P

jest punktem przecięcia przekątnych trapezu

A B C D

. Długość podstawy

C D

jest o

2

mniejsza od długości podstawy

A B

. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym

C P D

jest o

3

mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie

A P B

.

Wykaż, że spełniony jest warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (9, 12)

jest wierzchołkiem trójkąta

A B C

. Prosta

k

o równaniu

y = \frac{1}{2} x

zawiera dwusieczną kąta

A B C

tego trójkąta. Okrąg

O

o równaniu

(x - 8)^{2} + (y - 4)^{2} = 16

jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki

B

i

C

tego trójkąta z okręgiem

O

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Wyrażenia algebraiczne

4 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - (5 m + 1) x - 2 m

przez dwumian

x + 2

jest równa

(- 30)

.
Oblicz

m

i dla wyznaczonej wartości

m

rozwiąż nierówność

W (x) \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Układy równań

1 pkt

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę

1040

zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach

20

zł,

50

zł oraz

100

zł. Banknotów

100

-złotowych było dwa razy więcej niż

50

-złotowych, a banknotów

20

-złotowych było o

2

mniej niż

50

-złotowych.

Niech

x

oznacza liczbę banknotów

50

-złotowych, a

y

– liczbę banknotów

20

-złotowych, które otrzymał ten klient.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb

x

i

y

to

Zadanie 9 Równania

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} < 5 x_{1}^{2} \cdot x_{2} + 5 x_{1} \cdot x_{2}^{2}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f (x) = a x^{2} + b x + c

, gdzie

a

,

b

i

c

są liczbami rzeczywistymi takimi, że

a \neq = 0

oraz

c < 0

. Funkcja

f

nie ma miejsc zerowych.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Wykres funkcji

f

leży w całości

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

	ponieważ

Zbiór zadań

Wyniki