Planimetria

Przyjmujemy następujące oznaczenia w trójkącie $ABC$:

$a,b,c$ – długości boków w trójkącie $ABC$;

$\alpha ,\beta ,\gamma$ – miary kątów wewnętrznych trójkąta leżących, odpowiednio, przy wierzchołkach $A$, $B$ oraz $C$;

$R,r$ – długości promieni okręgów, odpowiednio, opisanego i wpisanego w trójkąt $ABC$;

$h_a,h_b,h_c$ – wysokości trójkąta opuszczone, odpowiednio, z wierzchołków $A$, $B$ i $C$;

$p$ – połowa obwodu trójkąta $ABC$, tj.

Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego). Jeżeli w trójkącie $ABC$ kąt $\gamma$ jest kątem prostym, to:

Jeżeli w trójkącie $ABC$ długości boków spełniają równość $a^2+b^2=c^2$, to kąt $\gamma$ jest kątem prostym.

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie cosinusów

Wzory na pole trójkąta $ABC$

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym.
Przyjmijmy, że w trójkącie $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem prostym. Niech $D$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $C$ na podstawę $AB$ trójkąta. Wówczas:

Związki miarowe w trójkącie równobocznym
$a$ – długość boku
$h$ – wysokość trójkąta równobocznego:

Cechy przystawania trójkątów

a) cecha „bok–bok–bok"
długości boków trójkąta $ABC$ są równe odpowiednim długościom boków trójkąta $KLM$, np.: $|AB|=|KL|$, $|BC|=|KM|$, $|CA|=|ML|$.

b) cecha „bok–kąt–bok"
długości dwóch boków trójkąta $ABC$ są równe odpowiednim długościom dwóch boków trójkąta $KLM$ i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: $|AB|=|KL|$, $|BC|=|KM|$ i $|\angle ABC|=|\angle LKM|$.

c) cecha „kąt–bok–kąt"
długość jednego boku trójkąta $ABC$ jest równa długości jednego boku trójkąta $KLM$ i kąty przyległe do tego boku trójkąta $ABC$ są przystające do odpowiednich kątów przyległych do odpowiedniego boku trójkąta $KLM$, np.: $|AB|=|KL|$ oraz $|\angle BAC|=|\angle KLM|$ i $|\angle ABC|=|\angle LKM|$.

Cechy podobieństwa trójkątów

a) cecha „bok–bok–bok"
długości boków trójkąta $ABC$ są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta $KLM$, np.: $\frac{|AB|}{|KL|}=\frac{|BC|}{|LM|}=\frac{|CA|}{|MK|}$.

b) cecha „bok–kąt–bok"
długości dwóch boków trójkąta $ABC$ są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta $KLM$ i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: $\frac{|AB|}{|KL|}=\frac{|AC|}{|KM|}$ i $|\angle BAC|=|\angle LKM|$.

c) cecha „kąt–kąt–kąt"
kąty trójkąta $ABC$ są przystające do odpowiednich kątów trójkąta $KLM$, np.: $|\angle BAC|=|\angle LKM|$ i $|\angle ABC|=|\angle KLM|$ i $|\angle ACB|=|\angle KML|$.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta.

Jeżeli dwusieczna kąta wewnętrznego (zewnętrznego) trójkąta $ABC$ poprowadzona z wierzchołka $C$ przecina prostą zawierającą odcinek $AB$ w punkcie $D$, to:

Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego).

Różne proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$, przy czym spełniony jest jeden z warunków:

$\text{—}$ punkt $A$ leży wewnątrz odcinka $PB$ oraz punkt $C$ leży wewnątrz odcinka $PD$

LUB

$\text{—}$ punkt $A$ leży na zewnątrz odcinka $PB$ oraz punkt $C$ leży na zewnątrz odcinka $PD$

Jeżeli $\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{|CD|}{|PC|}$, to proste $AC$ i $BD$ są równoległe.

Jeżeli proste $AC$ i $BD$ są równoległe, to $\frac{|AB|}{|PA|}=\frac{|CD|}{|PC|}$.

Koło

Pole $P$ koła o promieniu $r$ jest równe:

Obwód $L$ koła o promieniu $r$ jest równy:

Wycinek koła

Pole $P$ wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$ wyrażonym w stopniach jest równe:

Długość $L$ łuku $AB$ wycinka koła o promieniu $r$ i kącie środkowym $\alpha$ wyrażonym w stopniach jest równa:

Kąty w okręgu

Miara kąta wpisanego w okrąg o środku $O$ jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

W szczególności kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

Miary kątów wpisanych w okrąg o środku $O$, opartych na tym samym łuku, są równe.

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą
Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$ i cięciwa $AB$ tego okręgu. Prosta $AC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$, natomiast punkt $P$ leży na tym okręgu i nie należy do kąta $CAB$. Wtedy:

przy czym wybieramy ten z kątów środkowych $AOB$, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta $CAB$.

Twierdzenie o odcinkach stycznych
Jeżeli styczne do okręgu w punktach $A$ i $B$ przecinają się w punkcie $P$, to:

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach $A$ i $B$ oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie $C$. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie $P$, to:

Czworokąty
Trapez – czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole $P$ trapezu (o podstawach $a$, $b$ i wysokości $h$):

Równoległobok – czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole $P$ równoległoboku:

Romb – czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Wzory na pole $P$ rombu:

Deltoid – czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole $P$ deltoidu:

Okrąg opisany na czworokącie
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe $180^{\circ }$.

Okrąg wpisany w czworokąt W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Pola figur podobnych
Jeżeli figura $\mathcal{B}$ o polu $P_{\mathcal{B}}$ jest podobna do figury $\mathcal{A}$ o polu $P_{\mathcal{A}}$ (różnym od zera) w skali $k$, to stosunek pól tych figur jest równy kwadratowi skali podobieństwa.