Zadanie 8, matura rozszerzona maj 2022

3 pkt

Punkt

P

jest punktem przecięcia przekątnych trapezu

A B C D

. Długość podstawy

C D

jest o

2

mniejsza od długości podstawy

A B

. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym

C P D

jest o

3

mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie

A P B

.

Wykaż, że spełniony jest warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

Warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

jest spełniony (dowód powyżej).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczmy przez $R_{2}$ promień okręgu opisanego na trójkącie $C P D$ , a przez $α$ miarę kąta ostrego $C P D$ . Ponieważ odcinki $A B$ i $C D$ są równoległe, to $∣∠ P C D ∣ = ∣∠ P A B ∣$ oraz $∣∠ A B P ∣ = ∣∠ P D C ∣$ (kąty naprzemianległe), a także $∣∠ C P D ∣ = ∣∠ A P B ∣$ (kąty wierzchołkowe). Na mocy cechy kkk trójkąty $C P D$ i $A P B$ są podobne, skąd wynika proporcja:
$\frac{R _{2} + 3}{∣ A B ∣} = \frac{R _{2}}{∣ C D ∣}$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu planimetria