Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 74

2 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Niech

R

będzie punktem leżącym na wykresie funkcji

g

.

Wykaż, że odległość punktu

R

od punktu

P

wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie

x

jest pierwszą współrzędną punktu

R

.

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkt $R$ leży na wykresie funkcji $g$ , więc ma współrzędne $R = (x, g (x))$ . Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów dla $P = (- 1, 1)$ :
$∣ P R ∣ = (x + 1)^{2} + (- \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4 - 1)^{2} ∣ P R ∣ = (x + 1)^{2} + (3 - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2})^{2}$

Zadanie 6.2 Pochodne

6 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu

K

, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca

K

toru od początku

P

) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Równania

1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(2 x - 1) (2 x - 2) (x + 2) = 0

jest równa

Zadanie 7 Nierówności

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{2}{5} - \frac{x}{3} > \frac{x}{5}

jest przedział

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (3 x) = 2 sin x

w zbiorze

[0, π]

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Równania

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\frac{( x ^{2} + x ) ( x + 3 ) ( x - 1 )}{x ^{2} - 1} = 0

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Zadanie 7 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Informacja do zadań 7. i 8.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 5 x

.

Osią symetrii wykresu funkcji

f

jest prosta o równaniu

Zadanie 7 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Dane jest wyrażenie

\frac{n ^{4} - 3}{6}

oraz liczby:

- 3

,

- 1

,

0

,

1

,

3

.

Dla której z danych liczb wartość podanego wyrażenia jest najmniejsza? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 7 Kombinatoryka

3 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

27500

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Liczby naturalne

1 pkt

Liczbę

404

można zapisać w postaci

(21 \cdot 19 + 5)

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Resztą z dzielenia liczby $404$ przez $19$ jest $5$ .
Jeśli liczbę $404$ zmniejszymy o $5$ , to otrzymamy liczbę podzielną przez $21$ .

Zadanie 7 Pochodne

4 pkt

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej

480

litrów i nie może przekroczyć

530

litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji

(480 + x)

litrów dziennie przeciętny koszt

K

(w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

K (x) = \frac{22 x ^{2} - 621 , 5 x + 23 430}{480 + x}

, gdzie

x \in [0, 50]

.

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Wartość bezwzględna

3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7.1 Funkcja kwadratowa

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędne

(5, - 3)

. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych ma współrzędne

(4, 0)

.

Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7.2 Funkcja kwadratowa

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f (x) = a x^{2} + b x + c

. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, ma współrzędne

(5, - 3)

. Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią

O x

układu współrzędnych ma współrzędne

(4, 0)

.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

f

w postaci kanonicznej.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Informacja do zadań 7. i 8.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = 2 x^{2} + 5 x

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona wzorem

g (x) = 2 x^{2} - 5 x

. Wykres funkcji

g

jest

Zbiór zadań

Wyniki