Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Wyznaczamy część wspólną obu przedziałów:
   $$(-\infty ,5)\cap ⟨-1,+\infty )=⟨-1,5)$$
2. Liczby całkowite należące do przedziału $⟨-1,5)$ to $-1,0,1,2,3,4$ — jest ich $6$.

1. Zapisujemy warunek równości długości wektorów, korzystając ze wzoru na długość wektora $[x,y]$: $|v|=\sqrt{x^2+y^2}$:
   $$(m-2{)}^2+(m+2{)}^2={\left(m^{1,5}\right)}^2+{\left(2^{1,5}\right)}^2$$
2. Upraszczamy obie strony równania:
   $$\begin{array}{rl}& (m-2{)}^2+(m+2{)}^2=2m^2+8\\ & {\left(m^{1,5}\right)}^2+{\left(2^{1,5}\right)}^2=m^3+8\end{array}$$
3. Otrzymujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m^2+8=m^3+8\\ & m^3-2m^2=0\\ & m^2(m-2)=0\end{array}$$
4. Stąd $m=0$ lub $m=2$. Oba rozwiązania spełniają warunek $m\ge 0$, potrzebny, aby wyrażenie $m^{1,5}$ było określone.

1. Zapisujemy zależność między $x$ i $y$: liczba $x$ stanowi $80\%$ liczby $y$, czyli
   $$x=0,8y$$
2. Wyznaczamy $y$ z równania:
   $$\begin{array}{rl}& y=\frac{x}{0,8}\\ & y=1,25x\end{array}$$
3. Zatem liczba $y$ to $125\%$ liczby $x$.

1. Rozważamy dwa przypadki w zależności od znaku wyrażenia pod wartością bezwzględną. Dla $x\ge 4$ mamy $|x-4|=x-4$, więc równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+x-4=0\\ & 4x=4\\ & x=1\end{array}$$
2. Otrzymane $x=1$ nie spełnia założenia $x\ge 4$, więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązania.
3. Dla $x<4$ mamy $|x-4|=4-x$, więc równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& 3x+4-x=0\\ & 2x=-4\\ & x=-2\end{array}$$
4. Liczba $x=-2$ spełnia założenie $x<4$, więc jest rozwiązaniem równania. Łącznie równanie ma dokładnie jeden pierwiastek: $x=-2$.

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi, żeby uprościć pierwszy składnik:
   $$2\log \sqrt{10}=\log {\left(\sqrt{10}\right)}^2=\log 10=1$$
2. Obliczamy drugi składnik:
   $$\log 10^3=3$$
3. Dodajemy oba wyniki:
   $$1+3=4$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.
2. Podstawiamy $a=3x$ oraz $b=8y$:
   $$\begin{array}{rl}& (3x+8y{)}^2=(3x{)}^2+2\cdot 3x\cdot 8y+(8y{)}^2\\ & =9x^2+48xy+64y^2\end{array}$$

1. Odczytujemy z wykresu amplitudę funkcji - najwyższa i najniższa wartość funkcji wynoszą odpowiednio $2\pi$ i $-2\pi$, więc amplituda wynosi $2\pi$. Odrzuca to od razu odpowiedzi A i C, w których amplituda wynosi $2$.
2. Odczytujemy okres funkcji - odległość między kolejnymi maksimami (np. dla $x=\pi$ i $x=5\pi$) wynosi $4\pi$, więc okres $T=4\pi$.
3. Dla funkcji postaci $f(x)=A\sin (\omega x)$ okres wynosi $T=\frac{2\pi }{\omega }$. Wyznaczamy $\omega$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2\pi }{\omega }=4\pi \\ & \omega =\frac{1}{2}\end{array}$$
4. Otrzymujemy wzór funkcji z amplitudą $2\pi$ i $\omega =\frac{1}{2}$:
   $$f(x)=2\pi \sin \left(\frac{x}{2}\right)$$

1. Podnieś do kwadratu wyrażenia w liczniku i wykonaj działania, żeby otrzymać wielomiany w liczniku i mianowniku.
   $$\begin{array}{rl}& (3n+2{)}^2-(1-2n{)}^2=(9n^2+12n+4)-(4n^2-4n+1)=5n^2+16n+3\\ & (2n-1{)}^2=4n^2-4n+1\end{array}$$
2. Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n^2$ i przejdź z $n$ do nieskończoności — ułamki z $n$ w mianowniku dążą wtedy do zera.
   $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2+16n+3}{4n^2-4n+1}& =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5+\frac{16}{n}+\frac{3}{n^2}}{4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}\\ & =\frac{5}{4}\end{array}$$
3. Zapisz wynik jako skończone rozwinięcie dziesiętne i odczytaj żądane cyfry: cyfra jedności $1$, pierwsza cyfra po przecinku $2$, druga cyfra po przecinku $5$.
   $$\frac{5}{4}=1,25$$

1. Sprawdzamy, czy $x=-2$ spełnia równanie z odpowiedzi D, podstawiając za $x$:
   $$\begin{array}{rl}& x^2(x+2)+2(x+2)=0\\ & (-2{)}^2\cdot ((-2)+2)+2\cdot ((-2)+2)=0\\ & 4\cdot 0+2\cdot 0=0\\ & 0=0\end{array}$$
2. Równość jest prawdziwa, więc $x=-2$ jest rozwiązaniem tego równania. W pozostałych równaniach liczba $(-2)$ nie spełnia warunków — w równaniu C mianownik $x+2$ się zeruje, a w równaniach A i B po podstawieniu otrzymujemy fałszywe równości.

1. Zamieniamy ułamek okresowy $0,(3)$ na ułamek zwykły:
   $$0,(3)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$
2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika $33$:
   $$\frac{1}{3}=\frac{11}{33}$$
3. Odejmujemy ułamki i skracamy wynik:
   $$\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}=-\frac{\bcancel{3}\cdot 4}{\bcancel{3}\cdot 11}=-\frac{4}{11}$$