Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 28

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 1∣ + ∣ x - 5∣ \leq 10 - 2 x

.

x \in (- \infty, 3 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyrażenie $x - 1$ zmienia znak w $x = 1$ , a $x - 5$ w $x = 5$ . Dzielimy więc oś liczbową na trzy przedziały i w każdym opuszczamy wartości bezwzględne, zmieniając znak wyrażenia, które jest tam ujemne.

Zadanie 2 Logarytmy

1 pkt

Liczba

lo g_{4} 25 + lo g_{2} 10

jest równa

Zadanie 2 Równania

5 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 2 x^{3} + a x^{2} - 13 x + b

. Liczba

3

jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu

W (x)

przez

(x + 2)

jest równa

20

. Oblicz współczynniki

a

i

b

oraz pozostałe pierwiastki wielomianu

W (x)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Granice

1 pkt

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

a_{n} = \frac{( n ^{2} - 10 n ) ( 2 - 3 n )}{2 n ^{3} + n ^{2} + 3}

dla

n \geq 1

. Wtedy

Zadanie 3 Planimetria

1 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta

A B C

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ C D ∣ = \frac{1}{2} ∣ B C ∣

(zobacz rysunek). Okrąg o środku

C

i promieniu

C D

jest styczny do prostej

A B

. Okrąg ten przecina boki

A C

i

B C

trójkąta odpowiednio w punktach

K

i

L

.

Zaznaczony na rysunku kąt

α

wpisany w okrąg jest równy

Zadanie 3 Geometria analityczna

1 pkt

Punkt

P^{'} = (3, - 3)

jest obrazem punktu

P = (1, 3)

w jednokładności o środku w punkcie

S = (- 2, 12)

. Skala tej jednokładności jest równa

Zadanie 4 Geometria analityczna

1 pkt

Dane są punkt

B = (- 4, 7)

i wektor

u = [- 3, 5]

. Punkt

A

, taki, że

A B = - 3 u

, ma współrzędne

Zadanie 4 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x}{2 x - 8}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 4

. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu

x = 2 + 4

jest równa

Zadanie 5 Równania

2 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + \frac{3}{4}

przez dwumian

x - 2

jest równa

1

. Oblicz wartość współczynnika

a

.
W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Ciągi

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{4}

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 6 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

i

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

P = (1, 0)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Dowody algebraiczne

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Dowody algebraiczne

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x

,

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Kombinatoryka

4 pkt

Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa

30

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki