Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x/(2x-8) dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 4. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu x = √2+4 jest równa

Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2017

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x}{2 x - 8}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 4

. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu

x = 2 + 4

jest równa

Poprawna odpowiedź

- 1

Liczymy pochodną ze wzoru na pochodną ilorazu: $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( 2 x - 8 ) - x \cdot 2}{( 2 x - 8 ) ^{2}} = \frac{- 8}{( 2 x - 8 ) ^{2}} = \frac{- 8}{4 ( x - 4 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( x - 4 ) ^{2}}$
Podstawiamy $x = 2 + 4$ .
$f^{'} (2 + 4) = \frac{- 2}{( 2 + 4 - 4 ) ^{2}} = \frac{- 2}{( 2 ) ^{2}} = \frac{- 2}{2} = - 1$