Pochodne

Rachunek różniczkowy: pochodna funkcji, monotoniczność, ekstrema i styczna do wykresu. Narzędzie do zadań optymalizacyjnych na poziomie rozszerzonym.

Ten dział to średnio 1,6 zadania i 5,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 2 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 7

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Funkcja

f

ma dokładnie

C. jedno ekstremum lokalne – dla

x = 1

1
Liczymy pochodną funkcji $f$ i rozkładamy ją na czynniki.
$f^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (x - 1)$
2
Miejsca zerowe pochodnej to $x = 0$ oraz $x = 1$ . Badamy znak $f^{'}$ w kolejnych przedziałach – czynnik $12 x^{2}$ jest zawsze nieujemny, więc o znaku $f^{'}$ decyduje czynnik $(x - 1)$ .
$x < 0 : f^{'} (x) < 0 0 < x < 1 : f^{'} (x) < 0 x > 1 : f^{'} (x) > 0$
3
W punkcie $x = 0$ pochodna nie zmienia znaku (jest ujemna po obu stronach), więc to nie jest ekstremum. W punkcie $x = 1$ znak zmienia się z ujemnego na dodatni, więc funkcja $f$ ma tam jedyne ekstremum lokalne – minimum.

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Pochodne funkcji potęgowej, wielomianu i funkcji wymiernej
Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu
Badanie monotoniczności funkcji za pomocą znaku pochodnej
Ekstrema lokalne oraz wartości największe i najmniejsze w przedziale
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Zadania optymalizacyjne z treścią

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Pochodna funkcji

Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej:

[c \cdot f (x)]^{'} = c \cdot f^{'} (x) dla c \in R

[f (x) + g (x)]^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)

[f (x) - g (x)]^{'} = f^{'} (x) - g^{'} (x)

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}} gdy g (x) \neq = 0

[g (f (x))]^{'} = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)

Pochodne wybranych funkcji
Niech $a, b, c, r$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

funkcja	pochodna funkcji
$f (x) = c$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = a x + b$	$f^{'} (x) = a$
$f (x) = a x^{2} + b x + c$	$f^{'} (x) = 2 a x + b$
$f (x) = x^{r}$	$f^{'} (x) = r \cdot x^{r - 1}$
$f (x) = \frac{a}{x}$	$f^{'} (x) = - \frac{a}{x ^{2}}$
$f (x) = x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
$f (x) = sin x$	$f^{'} (x) = cos x$
$f (x) = cos x$	$f^{'} (x) = - sin x$
$f (x) = tg x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{( c o s x ) ^{2}}$
$f (x) = e^{x}$	$f^{'} (x) = e^{x}$

gdzie $e$ jest liczbą Eulera; $e \approx 2, 72$ .

Równanie stycznej
Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ , to równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ dane jest wzorem:

y = a (x - x_{0}) + f (x_{0})

gdzie

a = f^{'} (x_{0})

Najczęstsze pytania

Nie. Pochodna musi w tym punkcie zmienić znak. Jeśli znak się nie zmienia, funkcja ma tam tylko punkt o poziomej stycznej i dalej rośnie albo dalej maleje.

Porównujesz wartości funkcji w punktach, w których pochodna się zeruje, z wartościami na końcach przedziału. Największa z tych liczb jest szukaną wartością.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu pochodne.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Pochodna funkcji

Najczęstsze pytania