Pochodne

Rachunek różniczkowy: pochodna funkcji, monotoniczność, ekstrema i styczna do wykresu. Narzędzie do zadań optymalizacyjnych na poziomie rozszerzonym.

Występowanie na egzaminach

zadań: 8 z 71

punktów: 27 z 250

Ostatnie5 matur

Średnio 5,4 pkt do zdobycia na arkuszu.

zadań: 31 z 278

punktów: 117 z 950

Wszystkie arkusze19 matur

Średnio 6,2 pkt do zdobycia na arkuszu.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 2Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 7 dla każdej liczby rzeczywistej x. Funkcja f ma dokładnie
Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 3Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (ax²+x)/(x-1) dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1. Wyznacz wszystkie…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 7Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (ax²+x)/(x-1) dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 1. Wyznacz wszystkie…
Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 13.2W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0),…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 16.2W układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B…
Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015), zadanie 1Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = x² + 4. W układzie współrzędnych (x, y) styczna do wykresu…
Matura rozszerzona maj 2026, zadanie 12.2Pole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem P(x) = (2x³)/(x²-16) dla…
Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015), zadanie 15.2W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów…

Co trzeba umieć przed maturą

Pochodne funkcji potęgowej, wielomianu i funkcji wymiernej
Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu
Badanie monotoniczności funkcji za pomocą znaku pochodnej
Ekstrema lokalne oraz wartości największe i najmniejsze w przedziale
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Zadania optymalizacyjne z treścią

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Pochodna funkcji

Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej:

[c \cdot f (x)]^{'} = c \cdot f^{'} (x) dla c \in R

[f (x) + g (x)]^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)

[f (x) - g (x)]^{'} = f^{'} (x) - g^{'} (x)

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}} gdy g (x) \neq = 0

[g (f (x))]^{'} = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)

Pochodne wybranych funkcji
Niech $a, b, c, r$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

funkcja	pochodna funkcji
$f (x) = c$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = a x + b$	$f^{'} (x) = a$
$f (x) = a x^{2} + b x + c$	$f^{'} (x) = 2 a x + b$
$f (x) = x^{r}$	$f^{'} (x) = r \cdot x^{r - 1}$
$f (x) = \frac{a}{x}$	$f^{'} (x) = - \frac{a}{x ^{2}}$
$f (x) = x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
$f (x) = sin x$	$f^{'} (x) = cos x$
$f (x) = cos x$	$f^{'} (x) = - sin x$
$f (x) = tg x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{( c o s x ) ^{2}}$
$f (x) = e^{x}$	$f^{'} (x) = e^{x}$

gdzie $e$ jest liczbą Eulera; $e \approx 2, 72$ .

Równanie stycznej
Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ , to równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ dane jest wzorem:

y = a (x - x_{0}) + f (x_{0})

gdzie

a = f^{'} (x_{0})

Najczęstsze pytania

Nie. Pochodna musi w tym punkcie zmienić znak. Jeśli znak się nie zmienia, funkcja ma tam tylko punkt o poziomej stycznej i dalej rośnie albo dalej maleje.

Porównujesz wartości funkcji w punktach, w których pochodna się zeruje, z wartościami na końcach przedziału. Największa z tych liczb jest szukaną wartością.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu pochodne.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.