Dział

Pochodne

Rachunek różniczkowy: pochodna funkcji, monotoniczność, ekstrema i styczna do wykresu. Narzędzie do zadań optymalizacyjnych na poziomie rozszerzonym.

Występowanie na egzaminach

Wszystkie arkusze3 matury5 z 40 zadań

Udział zadań z tego działu w arkuszach majowych.

Ostatnio na egzaminie

Zobacz wszystkie zadania

Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 3Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej. Wyznacz wszystkie wartości, dla których…
Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 13.2W kartezjańskim układzie współrzędnych rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne, w których, wierzchołek leży…
Matura rozszerzona maj 2026, zadanie 12.2Pole trójkątnego kwietnika o podstawie długości metrów jest określone wzorem dla każdego. Wyznacz długość…
Matura rozszerzona czerwiec 2025, zadanie 8Wielomian zmiennej rzeczywistej jest określony wzorem, gdzie. Liczba jest miejscem zerowym tego wielomianu. W…
Matura rozszerzona czerwiec 2025, zadanie 12.2Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym. Objętość…
Matura rozszerzona maj 2025, zadanie 12.2Objętość stożka, jako funkcja wysokości stożka, wyraża się wzorem dla. Wyznacz wysokość tego z rozważanych…
Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 13.2Funkcja jest określona wzorem dla każdego. W kartezjańskim układzie współrzędnych rozważamy wszystkie…
Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 2Oblicz granicę.
Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 4Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera. W kartezjańskim układzie…
Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 13.2Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości, których krawędź podstawy ma długość nie…

Co trzeba umieć przed maturą

Pochodne funkcji potęgowej, wielomianu i funkcji wymiernej
Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu
Badanie monotoniczności funkcji za pomocą znaku pochodnej
Ekstrema lokalne oraz wartości największe i najmniejsze w przedziale
Równanie stycznej do wykresu funkcji
Zadania optymalizacyjne z treścią

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej:

[c \cdot f (x)]^{'} = c \cdot f^{'} (x) dla c \in R

[f (x) + g (x)]^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)

[f (x) - g (x)]^{'} = f^{'} (x) - g^{'} (x)

[f (x) \cdot g (x)]^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)

[\frac{f ( x )}{g ( x )}]^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{[ g ( x ) ] ^{2}} gdy g (x) \neq = 0

[g (f (x))]^{'} = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x)

Pochodne wybranych funkcji
Niech $a, b, c, r$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

funkcja	pochodna funkcji
$f (x) = c$	$f^{'} (x) = 0$
$f (x) = a x + b$	$f^{'} (x) = a$
$f (x) = a x^{2} + b x + c$	$f^{'} (x) = 2 a x + b$
$f (x) = x^{r}$	$f^{'} (x) = r \cdot x^{r - 1}$
$f (x) = \frac{a}{x}$	$f^{'} (x) = - \frac{a}{x ^{2}}$
$f (x) = x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
$f (x) = sin x$	$f^{'} (x) = cos x$
$f (x) = cos x$	$f^{'} (x) = - sin x$
$f (x) = tg x$	$f^{'} (x) = \frac{1}{( c o s x ) ^{2}}$
$f (x) = e^{x}$	$f^{'} (x) = e^{x}$

gdzie $e$ jest liczbą Eulera; $e \approx 2, 72$ .

Równanie stycznej
Jeżeli funkcja $f$ ma pochodną w punkcie $x_{0}$ , to równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $(x_{0}, f (x_{0}))$ dane jest wzorem:

y = a (x - x_{0}) + f (x_{0})

gdzie

a = f^{'} (x_{0})

Najczęstsze pytania

Nie. Pochodna musi w tym punkcie zmienić znak. Jeśli znak się nie zmienia, funkcja ma tam tylko punkt o poziomej stycznej i dalej rośnie albo dalej maleje.

Porównujesz wartości funkcji w punktach, w których pochodna się zeruje, z wartościami na końcach przedziału. Największa z tych liczb jest szukaną wartością.

Poćwicz ten dział

Losuj zadanieWylosuj zadanie z działu pochodne i sprawdź odpowiedź od razu.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.