Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Podstawa $\frac{1}{5}$ jest liczbą dodatnią mniejszą od $1$, więc im większy wykładnik, tym mniejsza wartość potęgi.
   $${\left(\frac{1}{5}\right)}^8<{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$$
2. Zdanie, że ${\left(\frac{1}{5}\right)}^8>{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$, jest więc fałszywe (F).
3. Obliczamy lewą stronę drugiego zdania.
   $$2^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4\cdot \frac{1}{4}=1$$
4. Obliczamy prawą stronę drugiego zdania.
   $$(-2{)}^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=(-8)\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=1$$
5. Obie strony są równe $1$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.

1. Zapisujemy warunek na średnią arytmetyczną trzech liczb:
   $$\frac{12+14+k}{3}=16$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 12+14+k=48\\ & k=48-26\\ & k=22\end{array}$$
3. Liczba $k$ jest równa $22$ – pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy średnią arytmetyczną liczb $12$, $14$, $k$, $11$, $17$ dla $k=22$:
   $$\frac{12+14+22+11+17}{5}=\frac{76}{5}=15,2$$
5. $15,2$ nie jest większe od $16$ – drugie zdanie jest fałszywe (F). Odpowiedź: PF.

1. Zapisujemy każdy składnik jako potęgę liczby $2$, korzystając z własności $(a^m{)}^n=a^{mn}$:
   $$2^{100}+4^{49}+16^{24}=2^{100}+(2^2{)}^{49}+(2^4{)}^{24}=2^{100}+2^{98}+2^{96}$$
2. Wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę, czyli $2^{96}$:
   $$2^{100}+2^{98}+2^{96}=2^{96}\left(2^4+2^2+1\right)=2^{96}\cdot 21$$
3. Liczba $2^{96}$ jest liczbą całkowitą, więc $2^{96}\cdot 21$ jest podzielna przez $21$. Zatem liczba $2^{100}+4^{49}+16^{24}$ jest podzielna przez $21$.

1. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$:
   $${\left(2\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)}^2={\left(2\sqrt{10}\right)}^2+2\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$$
2. Obliczamy poszczególne składniki:
   $$\begin{array}{rl}& {\left(2\sqrt{10}\right)}^2=4\cdot 10=40\\ & 2\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{20}=4\cdot 2\sqrt{5}=8\sqrt{5}\\ & {\left(\sqrt{2}\right)}^2=2\end{array}$$
3. Sumujemy wszystkie składniki:
   $$40+8\sqrt{5}+2=42+8\sqrt{5}$$

1. Przy procencie składanym po każdym roku kapitał mnożymy przez czynnik $1+6\%=1,06$. Po trzech latach ten czynnik mnożymy przez siebie trzykrotnie:
   $$K_0\cdot 1,06\cdot 1,06\cdot 1,06=K_0\cdot (1,06{)}^3$$

1. Niech liczba kulek zielonych będzie równa $x$. Kulek czerwonych jest trzy razy więcej niż zielonych, czyli jest ich $3x$.
2. Kulek czerwonych jest o dwa mniej niż niebieskich, więc niebieskich jest o dwa więcej niż czerwonych.
   $$3x+2$$
3. Porównujemy liczby kulek: zielonych jest $x$, czerwonych $3x$, a niebieskich $3x+2$. Dla dodatniego $x$ najmniejsza z tych trzech liczb to $x$ – najmniej jest więc kulek zielonych (odpowiedź B).
4. Liczbę wszystkich kulek obliczamy jako sumę kulek zielonych, czerwonych i niebieskich.
   $$x+3x+(3x+2)=7x+2$$
5. Liczbę wszystkich kulek w pudełku opisuje więc wyrażenie $7x+2$ (odpowiedź D).

1. Oznaczamy $x={\log }_{\sqrt{3}}9$, czyli szukamy takiego wykładnika, aby ${\left(\sqrt{3}\right)}^x=9$. Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby $3$:
   $$\begin{gathered} \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}},9=3^2 \\ {3}^{\frac{1}{2}x}=3^2 \end{gathered}$$
2. Skoro podstawy po obu stronach są równe, wykładniki też muszą być równe:
   $$\frac{1}{2}x=2⟹x=4$$

1. Obliczamy wartość liczby $x$:
   $$x=\frac{4}{5}\cdot \left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{15}$$
2. Obliczamy wartość liczby $y$, sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika:
   $$y=\frac{4}{5}+\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{12}{15}-\frac{20}{15}=-\frac{8}{15}$$
3. Liczba $y=-\frac{8}{15}$ jest ujemna – to odpowiedź A.
4. Porównujemy $x=-\frac{16}{15}$ i $y=-\frac{8}{15}$ – obie liczby są ujemne, więc mniejsza jest ta, której wartość bezwzględna jest większa:
   $$-\frac{16}{15}<-\frac{8}{15}$$
5. Zatem $x<y$, czyli liczba $x$ jest mniejsza od liczby $y$ – to odpowiedź C. Odpowiedzi: A, C.

1. Zapisujemy $16=2^4$ oraz $9=3^2$, więc ${\log }_{2}16=4$, a ${\log }_{2}9=2{\log }_{2}3$:
   $${\log }_{2}16+{\log }_{2}9=4+2{\log }_{2}3$$
2. To odpowiada równości E. Korzystamy też ze wzoru na logarytm iloczynu:
   $${\log }_{2}16+{\log }_{2}9={\log }_2(16\cdot 9)={\log }_{2}144$$
3. To odpowiada równości C. Prawdziwe są zatem równości oznaczone literami C i E.

1. Aby porównać $4$ z $2\sqrt{3}$ i $3\sqrt{2}$, podnosimy obie strony do kwadratu (obie liczby są dodatnie, więc kolejność się zachowuje):
   $$\begin{array}{rl}& 4^2=16,(2\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12\\ & 4^2=16,(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18\end{array}$$
2. Skoro $16>12$, to $4>2\sqrt{3}$, czyli liczba $4$ nie jest mniejsza od $2\sqrt{3}$. Skoro $16<18$, to $4<3\sqrt{2}$, więc poprawna jest odpowiedź B.
3. Aby porównać $4$ z $\sqrt{2}+2$, odejmujemy $2$ od obu stron, a potem podnosimy do kwadratu:
   $$4-2=2,2^2=4,(\sqrt{2}{)}^2=2$$
4. Skoro $4>2$, to $2>\sqrt{2}$, czyli $4>\sqrt{2}+2$, a zatem liczba $4$ jest większa od $\sqrt{2}+2$ (odpowiedź C).
5. Aby porównać $4$ z $6-\sqrt{3}$, przekształcamy nierówność $4>6-\sqrt{3}$ do postaci $\sqrt{3}>2$ i sprawdzamy kwadraty:
6. Skoro $3<4$, to $\sqrt{3}<2$, więc nierówność $4>6-\sqrt{3}$ jest fałszywa, czyli liczba $4$ nie jest większa od $6-\sqrt{3}$. Poprawne odpowiedzi to B i C.