Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki:
   $$\begin{array}{rl}& 5^2\cdot 5^3\cdot 5^5=5^{2+3+5}=5^{10}\\ & (5^5{)}^2=5^{5\cdot 2}=5^{10}\end{array}$$
2. Obie strony są równe $5^{10}$, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.
3. Obliczamy wartość pierwszego wyrażenia:
   $$\frac{2^3\cdot 3^3}{6}=\frac{8\cdot 27}{6}=\frac{216}{6}=36$$
4. Obliczamy wartość drugiego wyrażenia: dzielenie ułamków zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
   $${\left(\frac{12}{5}:\frac{2}{5}\right)}^2={\left(\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{2}\right)}^2=6^2=36$$
5. Oba wyrażenia są równe $36$, więc drugie zdanie też jest prawdziwe. Odpowiedź: PP.

1. Rozkładamy licznik na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, i skracamy przez $(x-2)$ dla $x\ne 2$:
   $$\frac{x^3-8}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2+2x+4}{x-2}$$
2. Obliczamy granice licznika i mianownika osobno. Licznik dąży do $12$, a mianownik dąży do $0$ „od strony ujemnej" (bo $x\to 2^{-}$ oznacza $x<2$, więc $x-2<0$):
   $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x^2+2x+4)=12,\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x-2)=0^{-}$$
3. Iloraz liczby dodatniej przez wyrażenie dążące do zera od strony ujemnej dąży do $-\infty$, więc:
   $$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-8}{(x-2{)}^2}=-\infty$$

1. Zapisujemy obie liczby jako potęgi liczby $2$:
   $$16=2^4,8=2^3$$
2. Podstawiamy i korzystamy z praw działań na potęgach (potęga ilorazu, potęga potęgi):
   $$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{1}{2^4}\right)}^8\cdot {\left(2^3\right)}^{16}\\ & =2^{-32}\cdot 2^{48}\end{array}$$
3. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
   $$2^{-32+48}=2^{16}$$

1. Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu i mnożymy liczby pod logarytmem:
   $${\log }_3\left(\frac{3}{2}\right)+{\log }_3\left(\frac{2}{9}\right)={\log }_3\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{9}\right)$$
2. Skracamy ułamek pod logarytmem:
   $$\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{9}=\frac{3\cdot \bcancel{2}}{\bcancel{2}\cdot 9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$
3. Otrzymujemy logarytm z $\frac{1}{3}=3^{-1}$, więc:
   $${\log }_3\frac{1}{3}={\log }_3{3}^{-1}=-1$$

1. Zapisujemy pierwiastek jako potęgę o wykładniku ułamkowym:
   $$\sqrt[5]{5}=5^{\frac{1}{5}}$$
2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie wewnątrz nawiasu:
   $$5^{\frac{1}{5}}\cdot 5^{-1}=5^{\frac{1}{5}-1}=5^{-\frac{4}{5}}$$
3. Podnosimy do potęgi $-5$, mnożąc wykładniki:
   $${\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)}^{-5}=5^{\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot (-5)}=5^4$$

1. Szukamy liczby, do której po dodaniu $-4$ otrzymamy $-5,25$. Odejmujemy więc $-4$ od $-5,25$.
   $$-5,25-(-4)=-1,25$$
2. Liczba $-1,25$ to liczba II.

1. Dla $x$ bliskich $3$ z lewej strony ($x<3$) mamy $x-3<0$, więc $|x-3|=-(x-3)$. Rozkładamy mianownik na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.
   $$\frac{|x-3|}{x^2-9}=\frac{-(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{-1}{x+3}\text{dla }x\in (-3,3)$$
2. Obliczamy granice licznika i mianownika otrzymanego wyrażenia.
   $$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 3^{-}}{\lim }(x+3)=6\\ & \underset{x\to 3^{-}}{\lim }(-1)=-1\end{array}$$
3. Zatem szukana granica jest równa:
   $$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{|x-3|}{x^2-9}=-\frac{1}{6}$$

1. Zamieniamy potęgę o wykładniku ujemnym na odwrotność podstawy z wykładnikiem dodatnim:
   $${\left(\frac{4}{25}\right)}^{-0,5}={\left(\frac{25}{4}\right)}^{0,5}$$
2. Wykładnik $0,5$ oznacza pierwiastek kwadratowy:
   $${\left(\frac{25}{4}\right)}^{0,5}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5$$

1. Szukany ułamek ma postać $\frac{n}{4}$, gdzie $n$ jest licznikiem. Zapisujemy warunek, że ułamek jest większy od $3$ i mniejszy od $5$:
   $$3<\frac{n}{4}<5$$
2. Mnożymy obie strony przez $4$:
   $$12<n<20$$
3. Liczby naturalne spełniające ten warunek to $13,14,15,16,17,18,19$ – jest ich siedem, czyli odpowiedź B.

1. Mnożymy pierwszy nawias przez $2$:
   $$2(a-2b)=2a-4b$$
2. Mnożymy nawiasy $(a-b)(2-b)$ każdy wyraz przez każdy:
   $$(a-b)(2-b)=2a-ab-2b+b^2$$
3. Odejmujemy ten wynik (zmieniamy znaki przy odejmowaniu nawiasu) i dodajemy $b^2$:
   $$\begin{array}{rl}& 2a-4b-(2a-ab-2b+b^2)+b^2\\ & =2a-4b-2a+ab+2b-b^2+b^2\end{array}$$
4. Grupujemy wyrazy podobne: wyrazy z $a$ się znoszą, zostaje $ab$ oraz suma wyrazów z $b$:
   $$(2a-2a)+ab+(-4b+2b)+(-b^2+b^2)=ab-2b$$

1. Podstawa $\frac{1}{5}$ jest liczbą dodatnią mniejszą od $1$, więc im większy wykładnik, tym mniejsza wartość potęgi.
   $${\left(\frac{1}{5}\right)}^8<{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$$
2. Zdanie, że ${\left(\frac{1}{5}\right)}^8>{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$, jest więc fałszywe (F).
3. Obliczamy lewą stronę drugiego zdania.
   $$2^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=4\cdot \frac{1}{4}=1$$
4. Obliczamy prawą stronę drugiego zdania.
   $$(-2{)}^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=(-8)\cdot \left(-\frac{1}{8}\right)=1$$
5. Obie strony są równe $1$, więc drugie zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: FP.