Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $17$:
   $$3(6-x)\le 51$$
2. Wymnażamy nawias:
   $$18-3x\le 51$$
3. Przenosimy wyrazy i dzielimy obie strony przez $-3$, zmieniając znak nierówności:
   $$\begin{array}{rl}-3x& \le 51-18\\ -3x& \le 33\\ x& \ge -11\end{array}$$
4. Zbiorem rozwiązań jest przedział $[-11,+\infty )$.

1. Odczytujemy z osi liczbowej wartości zaznaczonych liczb, licząc kratki (jedna krata to jedna jednostka) względem liczb $1$ i $3$:
   

   • $k=-5$
   • $m=-1$
   • $t=5$
   • $p=7$
2. Obliczamy wartość każdego z podanych wyrażeń.
   $$\begin{array}{rl}& A.k+p=-5+7=2\\ & B.k+m+t=-5+(-1)+5=-1\\ & C.k+t=-5+5=0\\ & D.k+m+p=-5+(-1)+7=1\end{array}$$
3. Wartość równą $1$ ma wyrażenie z odpowiedzi D.

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ dla $x=2a+b$ i $y=2a-b$:
   $$(2a+b{)}^2-(2a-b{)}^2=\left[(2a+b)-(2a-b)\right]\cdot \left[(2a+b)+(2a-b)\right]$$
2. Upraszczamy oba nawiasy:
   $$\begin{array}{rl}& (2a+b)-(2a-b)=2b\\ & (2a+b)+(2a-b)=4a\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2b\cdot 4a=8ab$$

1. Obliczamy liczbę kul każdego koloru. Kul białych jest $5$, kul czerwonych jest trzy razy więcej:
   $$3\cdot 5=15$$
2. Kul niebieskich jest o $5$ mniej niż czerwonych:
   $$15-5=10$$
3. Obliczamy łączną liczbę kul w pudełku:
   $$5+15+10=30$$
4. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to stosunek liczby kul białych do wszystkich kul:
   $$P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$$

1. Zapisujemy równanie procentu składanego dla dwóch lat, gdzie $p$ to roczne oprocentowanie w procentach:
   $$60000\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=67925,76$$
2. Dzielimy obie strony przez $60000$:
   $${\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=\frac{67925,76}{60000}=1,132096$$
3. Pierwiastkujemy obie strony (oprocentowanie jest dodatnie):
   $$1+\frac{p}{100}=\sqrt{1,132096}=1,064$$
4. Wyznaczamy $p$:
   $$\frac{p}{100}=0,064⟹p=6,4$$

1. Niech $A$ oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, $B_1$ – że ma wyższe wykształcenie, a $B_2$ – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:
   $$P(B_1)=0,35,P(B_2)=0,65$$
2. Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:
   $$P(A|B_1)=0,7,P(A|B_2)=0,4$$
3. Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:
   $$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)\cdot P(A|B_1)}{P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)}$$
4. Podstawiamy dane i obliczamy:
   $$P(B_1|A)=\frac{0,35\cdot 0,7}{0,7\cdot 0,35+0,4\cdot 0,65}=0,(4851)\approx 0,49$$

1. Wyjściowe równanie to $5x=\frac{y}{w}$. Sprawdzamy równanie I – dzielimy obie strony przez $5$:
   $$x=\frac{y}{5w}$$
2. Otrzymaliśmy dokładnie równanie I, więc jest ono poprawne.
3. Sprawdzamy równanie II – mnożymy obie strony wyjściowego równania przez $w$:
   $$5xw=y$$
4. To nie jest to samo co $y=\frac{5x}{w}$ podane w równaniu II, więc równanie II jest niepoprawne.
5. Sprawdzamy równanie III – z otrzymanego równania $5xw=y$ dzielimy obie strony przez $5x$:
   $$w=\frac{y}{5x}$$
6. Otrzymaliśmy dokładnie równanie III, więc jest ono poprawne. Poprawne są równania I i III – odpowiedź C.

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $12$:
   $$\begin{array}{rl}& 3x-5<\frac{1}{3}\cdot 12\\ & 3x-5<4\end{array}$$
2. Rozwiązujemy nierówność liniową:
   $$\begin{array}{rl}3x& <9\\ x& <3\end{array}$$
3. Szukamy liczb całkowitych dodatnich spełniających $x<3$. Są to $x=1$ oraz $x=2$ — łącznie $2$ rozwiązania.

1. Ponieważ $|4x-8|=4\cdot |x-2|$ oraz $|2-x|=|x-2|$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$, dane równanie można przekształcić równoważnie do postaci:
   $$4\cdot |x-2|=|x+2|+4$$
2. Rozważamy trzy przedziały: $(-\infty ,-2)$, $[-2,2)$, $[2,+\infty )$.
3. Dla $x\in (-\infty ,-2)$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& -4x+8=-x-2+4\\ & -3x=-6\\ & x=2\end{array}$$
4. Ponieważ $2\notin (-\infty ,-2)$, ten przypadek nie daje rozwiązania.
5. Dla $x\in [-2,2)$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& -4x+8=x+2+4\\ & -5x=-2\\ & x=\frac{2}{5}\end{array}$$
6. Ponieważ $\frac{2}{5}\in [-2,2)$, liczba $\frac{2}{5}$ jest rozwiązaniem.
7. Dla $x\in [2,+\infty )$ równanie przyjmuje postać:
   $$\begin{array}{rl}& 4x-8=x+2+4\\ & 3x=14\\ & x=\frac{14}{3}\end{array}$$
8. Ponieważ $\frac{14}{3}\in [2,+\infty )$, liczba $\frac{14}{3}$ jest rozwiązaniem.
9. Ostatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby $\frac{2}{5}$ oraz $\frac{14}{3}$.

1. Przenosimy wyraz z $x$ z prawej strony na lewą, dodając $x$ do obu stron:
   $$\begin{array}{rl}1-\frac{3}{2}x+x& <\frac{2}{3}\\ 1-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}\end{array}$$
2. Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:
   $$\begin{array}{rl}-\frac{1}{2}x& <\frac{2}{3}-1\\ -\frac{1}{2}x& <-\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Dzielimy obie strony przez $-\frac{1}{2}$ (liczbę ujemną), zmieniając kierunek nierówności:
   $$x>\frac{2}{3}$$