Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 146

1 pkt

Narysowany kwadrat należy wypełnić tak, aby iloczyny liczb w każdym wierszu, każdej kolumnie i na obu przekątnych kwadratu były takie same.

$5^{6}$	$5$	$5^{8}$
$5^{7}$	$5^{5}$
$5^{2}$

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Iloczyn liczb na przekątnej kwadratu jest równy $5^{15}$ .
W zacieniowane pole kwadratu należy wpisać liczbę $5^{9}$ .

PP

1
Na przekątnej z liczbami $5^{8}$ , $5^{5}$ i $5^{2}$ znamy wszystkie liczby. Potęgi o tej samej podstawie mnożymy, dodając wykładniki.
$5^{8} \cdot 5^{5} \cdot 5^{2} = 5^{8 + 5 + 2} = 5^{15}$

Zadanie 5 Ciągi

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{4}

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 5 Równania

2 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + \frac{3}{4}

przez dwumian

x - 2

jest równa

1

. Oblicz wartość współczynnika

a

.
W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

P = (1, 0)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

i

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6Inne

1 pkt

Jacek i Ola testują swoje elektryczne deskorolki. W tym celu zmierzyli czasy przejazdu na trasie

400

m. Ola pokonała tę trasę w czasie

160

s, a Jacek – w czasie

100

s.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica średnich prędkości uzyskanych przez Jacka i przez Olę jest równa

Zadanie 7 Dowody algebraiczne

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Kombinatoryka

4 pkt

Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa

30

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

W pięciu rzutach standardową sześcienną kostką do gry, jeżeli wynik każdego rzutu będzie inny, można otrzymać łącznie dokładnie $20$ oczek.
W $16$ rzutach standardową sześcienną kostką do gry można otrzymać łącznie ponad $100$ oczek.

Zadanie 7 Dowody algebraiczne

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x

,

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody geometryczne

3 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

bok

A B

ma długość

c

, długość boku

B C

jest równa

a

oraz

∣ ∢ A B C ∣ = β

. Dwusieczna kąta

A B C

przecina bok

A C

trójkąta w punkcie

E

.
Wykaż, że długość odcinka

B E

jest równa

\frac{2 a c \cdot cos \frac{β}{2}}{a + c}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Prawdopodobieństwo

3 pkt

W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku:

2

kule białe i

3

kule czerwone, a w drugim pudełku:

1

kulę białą i

4

kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii kwadratowej siatki. Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze wzoru Picka:

P = W + \frac{1}{2} B - 1,

gdzie

P

oznacza pole wielokąta,

W

– liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a

B

– liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta.

W wielokącie przedstawionym na rysunku

W = 3

oraz

B = 5

, zatem

P = 4, 5

.

Wewnątrz pewnego wielokąta znajduje się

5

punktów kratowych, a na jego brzegu jest

6

punktów kratowych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego wielokąta jest równe

Zadanie 8 Dowody geometryczne

3 pkt

Miary kątów trójkąta

A B C

są równe

α = ∣ ∢ B A C ∣

,

β = ∣ ∢ A B C ∣

i

γ = ∣ ∢ A C B ∣

. Punkt

S

jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki

A S

i

B S

przecinają boki

B C

i

A C

tego trójkąta w punktach odpowiednio

D

i

E

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli

α + β = 2 γ

, to na czworokącie

D C E S

można opisać okrąg.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Planimetria

6 pkt

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa

36

, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy

10

. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki