Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 147

4 pkt

Z cyfr

0

,

1

,

2

tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez

15

. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

18

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Liczba podzielna przez $15$ jest podzielna przez $3$ i przez $5$ . Żeby z cyfr $0$ , $1$ , $2$ utworzyć liczbę podzielną przez $5$ , jej ostatnią cyfrą musi być $0$ .

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 9 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii kwadratowej siatki. Pole wielokąta, którego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych kwadratowej siatki na płaszczyźnie, można obliczyć ze wzoru Picka:

P = W + \frac{1}{2} B - 1,

gdzie

P

oznacza pole wielokąta,

W

– liczbę punktów kratowych leżących wewnątrz wielokąta, a

B

– liczbę punktów kratowych leżących na brzegu tego wielokąta.

W wielokącie przedstawionym na rysunku

W = 3

oraz

B = 5

, zatem

P = 4, 5

.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wielokąt, którego pole jest równe

15

, może mieć A/B punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta.

Pole wielokąta, który ma dwukrotnie więcej punktów kratowych leżących na brzegu wielokąta niż punktów leżących wewnątrz, wyraża się liczbą C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 9 Geometria przestrzenna

4 pkt

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość

6

, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna

π

, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej

\frac{8}{27}

objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka

S

kuli od płaszczyzny

π

, tj. długość najkrótszego spośród odcinków

S P

, gdzie

P

jest punktem płaszczyzny

π

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny, a ciąg

(b_{n})

jest geometryczny. Pierwszy wyraz

a_{1}

ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego

(b_{n})

. Wyrazy ciągu

(a_{n})

są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

124

. Natomiast pierwszy wyraz

b_{1}

ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego

(a_{n})

. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

(b_{n})

jest równa

18

. Wyznacz te ciągi.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

1 pkt

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian i otrzymano bryły przedstawione na rysunku.

Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II? Wybierz odpowiedź A (Tak) albo B (Nie) i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

6 pkt

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach

\frac{π}{3}

i

α

. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy

\frac{6}{4}

. Wyznacz miarę kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x + 3 cos x = - 2

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 sin (x - \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{4}) = 1

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Prawdopodobieństwo

4 pkt

W pudełku znajduje się

8

piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od

1

do

8

. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez

4

. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Planimetria

1 pkt

Na bokach trójkąta prostokątnego

A B C

zaznaczono punkty

D

i

E

. Odcinek

D E

podzielił trójkąt

A B C

na dwa wielokąty: trójkąt prostokątny

A D E

i czworokąt

D B C E

, jak na rysunku. Odcinek

A B

ma długość

43

cm, a odcinek

D E

ma długość

3

cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość odcinka

E C

jest równa

Zadanie 12 Procenty

1 pkt

Maja grała z przyjaciółmi w ekonomiczną grę strategiczną. W trakcie tej gry zainwestowała w zakup nieruchomości

56

tys. gambitów – wirtualnych monet. Po upływie

30

minut odsprzedała tę nieruchomość za

280

tys. gambitów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość nieruchomości od momentu jej zakupienia do momentu sprzedaży

Zadanie 12 Geometria analityczna

5 pkt

Prosta

l

, na której leży punkt

P = (8, 2)

, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym

36

. Wyznacz równanie prostej

l

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

i

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Przekątne prostokąta

A B C D

przedstawionego na rysunku przecinają się pod kątem

140°

.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Kąt $D C A$ ma miarę $40°$ .
Kąt $D A C$ ma miarę $70°$ .

Zadanie 13 Funkcja kwadratowa

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(- \infty, 3)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

	ponieważ		z pierwszej kostki usunięto mniejszy sześcian niż z drugiej kostki.
			całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki.
			pole powierzchni „wnęki” w II bryle jest większe niż pole powierzchni „wnęki” w I bryle.

Zbiór zadań

Wyniki