Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 17

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.

b \in (\frac{9}{2}, 9)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Długość podstawy $a = 18 - 2 b$ musi być dodatnia, podobnie jak długość ramienia $b$ .
$18 - 2 b > 0 b < 9$

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

dla

x \in (0, 1)

. Oblicz długość odcinka

x

tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15.3 Pochodne

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

dla

b \in (\frac{9}{2}, 9)

. Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Wartość wyrażenia

((3 - 1)^{2} - (3 + 1)^{2})^{3}

jest równa

Zadanie 1 Trygonometria

1 pkt

Różnica

cos^{2} 165° - sin^{2} 165°

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Liczba

lo g_{2} 9

jest równa

Zadanie 2 Trygonometria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

.

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji

f

.

Zadanie 2 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest

10

kul:

8

białych i

2

czarne, w drugiej jest

8

kul:

5

białych i

3

czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Zadanie 2 Granice

1 pkt

Granice

n \to \infty lim \frac{a n ^{2} + bn + 4}{n + 1}

i

n \to \infty lim \frac{n + 1}{a n ^{2} + bn + 4}

są równe. Stąd wynika, że

Zadanie 3 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wielomian

W (x) = x^{4} + 81

jest podzielny przez

Zadanie 3 Geometria analityczna

1 pkt

Wektory

a = [m - 2, m + 2]

oraz

b = [m^{1, 5}, 2^{1, 5}]

mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Zadanie 3 Pochodne

1 pkt

Prosta dana równaniem

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji

f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + x + 5

w punkcie

Zadanie 4 Wartość bezwzględna

1 pkt

Liczba różnych pierwiastków równania

3 x + ∣ x - 4∣ = 0

jest równa

Zadanie 4 Ciągi

1 pkt

Liczba

x

jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym

1

i ilorazie

\frac{1}{3}

. Liczba

y

jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym

1

i ilorazie

(- \frac{1}{3})

.
Wynika stąd, że liczba

x - y

jest równa

Zadanie 4 Trygonometria

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji

f

określonej dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji

f

.

Zbiór zadań

Wyniki