Zadanie 15.3, matura rozszerzona czerwiec 2022

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

dla

x \in (0, 1)

. Oblicz długość odcinka

x

tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

x = \frac{1}{2}

, największe pole

P = \frac{3 3}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Czynnik $x + 1$ jest dodatni, więc wciągamy go pod pierwiastek. Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc $P$ przyjmuje największą wartość tam, gdzie wyrażenie pod pierwiastkiem. Oznaczamy je przez $f$ i wymnażamy nawiasy.
$P (x) = (x + 1)^{2} (1 - x^{2}) f (x) = (x^{2} + 2 x + 1) (1 - x^{2}) = - x^{4} - 2 x^{3} + 2 x + 1$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu pochodne