Zbiór zadań

Znaleziono 276 zadań. Losuj z tych filtrów

1. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu do ${\log }_{25}27$, zapisując go przy podstawie $3$:
   $${\log }_{25}27=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_{3}25}=\frac{{\log }_{3}27}{{\log }_3{5}^2}=\frac{{\log }_{3}27}{2{\log }_{3}5}$$
2. Mnożymy przez ${\log }_{3}5$, dzięki czemu upraszcza się licznik całego wyrażenia:
   $${\log }_{3}5\cdot {\log }_{25}27={\log }_{3}5\cdot \frac{{\log }_{3}27}{2{\log }_{3}5}=\frac{{\log }_{3}27}{2}$$
3. Przekształcamy mianownik, korzystając z definicji pierwiastka oraz wzoru na logarytm potęgi:
   $${\log }_7\sqrt[6]{49}={\log }_7{\left(7^2\right)}^{\frac{1}{6}}={\log }_7{7}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}{\log }_{7}7=\frac{1}{3}$$
4. Obliczamy wartość wyrażenia, korzystając z definicji logarytmu (${\log }_{3}27=3$):
   $$\frac{{\log }_{3}5\cdot {\log }_{25}27}{{\log }_7\sqrt[6]{49}}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\cdot 3=\frac{9}{2}$$

1. Zapisz oba logarytmy jako potęgi i skorzystaj ze wzoru na logarytm potęgi.
   $$\begin{array}{rl}& {\log }_3\sqrt{27}={\log }_{3}27^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{3}27=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}\\ & {\log }_{27}\sqrt{3}={\log }_{27}{3}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{27}3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}\end{array}$$
2. Odejmij otrzymane wartości.
   $$\frac{3}{2}-\frac{1}{6}=\frac{9}{6}-\frac{1}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$

1. Podstawienie $x=-3$ daje wyrażenie nieoznaczone $\frac{0}{0}$, więc rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, żeby znaleźć wspólny czynnik $(x+3)$.
   $$\begin{array}{rl}& 0,5x^2+3,5x+6=0,5(x^2+7x+12)=0,5(x+3)(x+4)\\ & -x^2+2x+15=-(x^2-2x-15)=-(x+3)(x-5)\end{array}$$
2. Skracamy czynnik $(x+3)$ w liczniku i mianowniku.
   $$\frac{0,5(x+3)(x+4)}{-(x+3)(x-5)}=\frac{0,5(x+4)}{-(x-5)}$$
3. Obliczamy granicę, podstawiając $x=-3$.
   $$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{0,5(x+4)}{-(x-5)}=\frac{0,5\cdot 1}{-(-8)}=\frac{0,5}{8}=\frac{1}{16}$$

1. Rozłóż licznik jako różnicę sześcianów i skróć ułamek.
   $$f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=x^2+2x+4$$
2. Oblicz pochodną funkcji.
   $$f^{\prime }(x)=2x+2$$
3. Podstaw $x=\frac{1}{2}$.
   $$f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+2=1+2=3$$

1. Suma wektorów jest wektorem zerowym, więc obie jej współrzędne są równe zero.
   $$\begin{array}{rl}& 2+2m+n+1=0\\ & \frac{2}{3}n+1+m+2=0\end{array}$$
2. Upraszczamy oba równania.
   $$\begin{array}{rl}& 2m+n+3=0\\ & \frac{2}{3}n+m+3=0\end{array}$$
3. Z pierwszego równania wyznaczamy $n$ w zależności od $m$.
   $$n=-2m-3$$
4. Podstawiamy do drugiego równania i wyznaczamy $m$.
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}(-2m-3)+m+3=0\\ & -\frac{4}{3}m-2+m+3=0\\ & -\frac{1}{3}m+1=0\\ & m=3\end{array}$$
5. Obliczamy $n$.
   $$n=-2\cdot 3-3=-9$$

1. Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite, uwzględniając wybór urny zależny od wyniku rzutu monetą.
   $$P(B)=P(R)\cdot P(B|U_1)+P(O)\cdot P(B|U_2)$$
2. Podstaw dane liczbowe i oblicz.
   $$\begin{array}{rl}P(B)& =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{7}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{7}\\ & =\frac{1}{14}+\frac{4}{14}\\ & =\frac{5}{14}\end{array}$$