Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 60

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dziedziną funkcji

f

jest zbiór

A.

[- 6, 5]

1
Dziedzina to argumenty, nad którymi leży punkt wykresu. Wykres zaczyna się pełnym punktem dla $x = - 6$ , a kończy pełnym punktem dla $x = 5$ . Puste kółka dla $x = - 3$ i $x = 1$ nie robią przerwy, bo nad tymi argumentami leży też pełny punkt.

Zadanie 12.1 Logarytmy

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Pochodne

4 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji

f

określonej dla każdej liczby dodatniej

x

. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci

f (x) = x^{4} + x^{2} - 6 x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12.2 Funkcje

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa wartość funkcji

f

w przedziale

[- 4, 1]

jest równa

Zadanie 12.3 Funkcje

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest malejąca w zbiorze

Zadanie 13 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (x - 13)^{2} - 256

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

(- 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Agata na dużej kartce w kratkę narysowała figurę złożoną z

40

połączonych odcinków, które kolejno ponumerowała liczbami naturalnymi od

1

do

40

.
Na rysunku przedstawiono fragment tej figury, złożony z ośmiu początkowych odcinków. Kolejne odcinki tej figury Agata narysowała według tej samej reguły, którą zastosowała do narysowania odcinków

1

–

8

.

Uwaga: wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Proste zawierające odcinki o numerach $1$ oraz $7$ są wzajemnie prostopadłe.
Proste zawierające odcinki o numerach $5$ oraz $33$ są wzajemnie równoległe.

Zadanie 13 Planimetria

1 pkt

Dane są dwa równoległoboki:

A B C D

oraz

E C F D

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Bok $D C$ równoległoboku $A B C D$ jest jedną z wysokości równoległoboku $E C F D$ .
Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe polu równoległoboku $E C F D$ .

Zadanie 13 Pochodne

6 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

A B C D E F G H

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

A C

i

B D

podstawy

A B C D

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

E F G H

ma długość

d

(zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości

V

graniastosłupa od jego wysokości

h

i podaj dziedzinę funkcji

V (h)

.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Funkcja liniowa

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

a

oraz liczba

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki:

Zadanie 13 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta

l

o równaniu

x - y - 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = 4 x^{2} - 7 x + 1

w punktach

A

oraz

B

. Odcinek

A B

jest średnicą okręgu

O

. Punkt

C

leży na okręgu

O

nad prostą

l

, a kąt

B A C

jest ostry i ma miarę

α

taką, że

tg α = \frac{1}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu

C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Ciągi

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{2} = 4

oraz

a_{3} = 9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Zadanie 13.1 Funkcje

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór	.....
Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór	.....

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 13.2 Funkcje

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < - 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej

f

jest liczba

(- 5)

. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji

f

, jest równa

3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Zbiór zadań

Wyniki