Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Ponieważ $AB\parallel CD$ (są podstawami trapezu), proste $AC$ i $BD$ są siecznymi tych prostych równoległych, więc kąty naprzemianległe są równe: $\angle EAB=\angle ECD$ oraz $\angle EBA=\angle EDC$. Kąty $\angle AEB$ i $\angle CED$ są z kolei wierzchołkowe, więc też równe. Trójkąty $ABE$ i $CDE$ mają po dwa równe kąty, czyli są podobne (cecha kkk) — pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
2. Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólną podstawę $CD$. Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej równoległej do $CD$ (bo $AB\parallel CD$), więc ich odległości od prostej $CD$ — czyli wysokości obu trójkątów opuszczone na $CD$ — są takie same. Trójkąty o tej samej podstawie i tej samej wysokości mają równe pola, więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3. Obie odpowiedzi to P. Odpowiedź: PP.

1. Ponieważ $AC$ jest średnicą, kąt wpisany $ABC$ oparty na średnicy jest kątem prostym:
   $$|\angle ABC|=90°$$
2. Kąt między styczną $k$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu w kącie naprzemiennym, czyli kątowi $ACB$ opartemu na tym samym łuku $AB$:
   $$|\angle ACB|=32°$$
3. Z sumy kątów w trójkącie $ABC$ obliczamy kąt $BAC$:
   $$|\angle BAC|=180°-90°-32°=58°$$
4. Kąt środkowy $BOC$ oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt wpisany $BAC$ jest dwa razy większy od tego kąta wpisanego:
   $$|\angle BOC|=2\cdot 58°=116°$$

1. Sprawdzamy, czy proste są prostopadłe, mnożąc ich współczynniki kierunkowe:
   $$a_k\cdot a_l=\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1$$
2. Iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$, więc proste $k$ i $l$ są prostopadłe (odpowiedź A).
3. Wyznaczamy punkt przecięcia, przyrównując prawe strony równań:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{3}x=-\frac{3}{2}x+13\\ & \frac{2}{3}x+\frac{3}{2}x=13\\ & \frac{4}{6}x+\frac{9}{6}x=13\\ & \frac{13}{6}x=13\\ & x=6\end{array}$$
4. Obliczamy współrzędną $y$, podstawiając $x=6$ do równania prostej $k$:
   $$y=\frac{2}{3}\cdot 6=4$$
5. Punkt przecięcia to $P=(6,4)$ (odpowiedź 2).

1. 
   Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie: dwusieczna kąta $ACB$ dzieli przeciwległy bok $AB$ w takim samym stosunku, jak długości boków przyległych do tego kąta:
   $$|AD|:|DB|=|AC|:|BC|$$
2. Podstawiamy dane długości boków:
   $$|AD|:|DB|=3:4$$

1. Przekątna $AC$ rombu dzieli kąt przy wierzchołku $A$ na połowy, więc skoro kąt $BAC=30°$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny ($AB=BC$ jako boki rombu) z kątami przy podstawie $AC$ równymi $30°$ zarówno przy wierzchołku $A$, jak i przy wierzchołku $C$.
2. Niech $M$ będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka $B$ na przekątną $AC$. Jako środek podstawy trójkąta równoramiennego $M$ dzieli $AC$ na połowy:
   $$|AM|=\frac{12}{2}=6$$
3. Wysokość $BM$ obliczamy z trójkąta prostokątnego $ABM$:
   $$|BM|=|AM|\cdot \tan (30°)=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$
4. Przekątna $AC$ dzieli romb na dwa przystające trójkąty $ABC$ i $ACD$, więc pole rombu jest dwa razy większe od pola trójkąta $ABC$:
   $$P=2\cdot \frac{1}{2}\cdot |AC|\cdot |BM|=12\cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$$

1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc $a=-\frac{1}{3}$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(3,5)$ do równania $y=ax+b$, aby wyznaczyć $b$:
   $$\begin{array}{rl}& 5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b\\ & 5=-1+b\\ & b=6\end{array}$$
3. Zatem $a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$ (odpowiedź D).

1. Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku $15$, więc obliczamy długość przekątnej podstawy:
   $$e=15\sqrt{2}$$
2. Kąt $\alpha$ jest kątem między przekątną graniastosłupa $d$ a jej rzutem na podstawę, czyli przekątną podstawy $e$, więc $\cos \alpha =\frac{e}{d}$. Wyznaczamy $d$:
   $$\begin{array}{rl}& \cos \alpha =\frac{e}{d}\\ & d=\frac{e}{\cos \alpha }=\frac{15\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=15\sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\end{array}$$
3. Skracamy $\sqrt{2}$ i obliczamy wynik:
   $$d=15\bcancel{\sqrt{2}}\cdot \frac{3}{\bcancel{\sqrt{2}}}=45$$

1. Sześcian ma trzy pary równoległych ścian: górną i dolną, przednią i tylną oraz lewą i prawą. Dla dowolnego punktu $P$ leżącego wewnątrz sześcianu suma odległości od dwóch równoległych ścian jest zawsze równa długości krawędzi sześcianu, bo te ściany są odległe od siebie dokładnie o $5$.
2. Ponieważ takich par ścian są trzy, sumujemy trzy takie sumy odległości:
   $$3\cdot 5=15$$

1. Proste równoległe mają taki sam współczynnik kierunkowy, więc szukana prosta ma postać:
   $$y=\frac{3}{4}x+b$$
2. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(12,-1)$ i wyznaczamy $b$:
   $$\begin{array}{rl}& -1=\frac{3}{4}\cdot 12+b\\ & -1=9+b\\ & b=-10\end{array}$$
3. Zatem szukana prosta ma równanie:
   $$y=\frac{3}{4}x-10$$