Zadanie 13, matura rozszerzona czerwiec 2023

6 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

A B C D E F G H

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

A C

B D

podstawy

A B C D

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

E F G H

ma długość

d

(zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości

V

graniastosłupa od jego wysokości

h

i podaj dziedzinę funkcji

V (h)

.
b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zapisz obliczenia.

V (h) = 2 (d^{2} h - h^{3})

dla

h \in (0, d)

; b)

h = \frac{d}{3} = \frac{3}{3} d

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczmy przez $a$ długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez $h$ jego wysokość. Podstawa $A B C D$ jest kwadratem, więc jej przekątna $B D$ ma długość $a 2$ , a punkt $O$ (przecięcie przekątnych) dzieli ją na połowy:
$∣ O D ∣ = \frac{∣ B D ∣}{2} = \frac{a 2}{2}$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu pochodne