Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
   $${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)}^2=1-\frac{24}{49}=\frac{25}{49}$$
2. Kąt $\alpha$ jest ostry, więc $\sin \alpha >0$:
   $$\sin \alpha =\sqrt{\frac{25}{49}}=\frac{5}{7}$$

1. Wyłączamy ${\sin }^2\alpha$ przed nawias:
   $${\sin }^4\alpha +{\sin }^2\alpha \cdot {\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \cdot \left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)$$
2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$:
   $${\sin }^2\alpha \cdot 1={\sin }^2\alpha$$

1. Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Współczynnik kierunkowy prostej $k$ to $-\frac{1}{2}$, a prostej $l$ to $2m-1$. Zapisujemy równanie:
   $$2m-1=-\frac{1}{2}$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m=-\frac{1}{2}+1\\ & 2m=\frac{1}{2}\\ & m=\frac{1}{4}\end{array}$$

1. Wyłączamy $\cos \alpha$ przed nawias:
   $$\cos \alpha -\cos \alpha \cdot {\sin }^2\alpha =\cos \alpha (1-{\sin }^2\alpha )$$
2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, skąd $1-{\sin }^2\alpha ={\cos }^2\alpha$:

1. Okrąg styczny do osi $Ox$ ma promień równy odległości środka od tej osi, czyli wartości bezwzględnej współrzędnej $y$ środka:
   $$r=|-2|=2$$
2. Równanie okręgu o środku $S=(4,-2)$ i promieniu $r=2$ to:
   $$(x-4{)}^2+(y+2{)}^2=2^2=4$$

1. Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby: przez bok i kąt między bokami ($P=a^2\sin \alpha$) oraz przez przekątne ($P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$). Przyrównujemy oba wzory, aby wyznaczyć iloczyn przekątnych:
   $$d_1\cdot d_2=2a^2\sin \alpha$$
2. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$ oraz $\alpha =150°$, korzystając z $\sin 150°=\sin 30°=\frac{1}{2}$:

1. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa $k$:
   $$k^2=\frac{P_{T_2}}{P_{T_1}}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$$
2. Wyznaczamy skalę podobieństwa (dodatnią, bo to stosunek długości):
   $$k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$
3. Obwody figur podobnych skalują się jak $k$ (nie jak $k^2$):
   $$Obw(T_2)=k\cdot Obw(T_1)=\frac{1}{2}\cdot 36=18$$

1. Obwód wycinka koła to suma długości łuku i dwóch promieni. Obliczamy długość łuku odpowiadającego kątowi środkowemu $30°$:
   $$l=\frac{30°}{360°}\cdot 2\pi r=\frac{1}{12}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{1}{2}\pi$$
2. Dodajemy dwa promienie ograniczające wycinek:
   $$Obw=l+2r=\frac{1}{2}\pi +2\cdot 3=\frac{1}{2}\pi +6$$

1. Obliczamy długość boku $KL$ ze wzoru na odległość punktów:
   $$|KL|=\sqrt{(-1-(-7){)}^2+(4-(-2){)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$$
2. Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ wyraża się wzorem $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Podstawiamy $a=6\sqrt{2}$:

1. Odcinki $OA$ i $OC$ są promieniami okręgu, więc trójkąt $AOC$ jest równoramienny, a kąty przy podstawie $AC$ są równe. Skoro $\angle OCA=70°$, to również $\angle OAC=70°$.
2. Obliczamy kąt środkowy $AOC$ z sumy kątów w trójkącie $AOC$:
   $$\angle AOC=180°-70°-70°=40°$$
3. Kąt wpisany $ABC$ oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $AOC$ jest równy połowie kąta środkowego:
   $$\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 40°=20°$$