Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Okrąg o środku $S=(a,b)$ i promieniu $r$ ma równanie:
   $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$
2. Podstawiamy $S=(-1,2)$ oraz $r=3$:
   $$(x-(-1){)}^2+(y-2{)}^2=3^2⟹(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=9$$

1. Współczynnik kierunkowy funkcji $f$ to $-1$. Prosta prostopadła do niej ma współczynnik kierunkowy będący liczbą przeciwną i odwrotną:
   $$a_g=-\frac{1}{a_f}=-\frac{1}{-1}=1$$
2. Funkcja $g$ ma więc wzór $g(x)=x+b$. Podstawiamy współrzędne punktu $P=(0,-1)$, aby wyznaczyć $b$:
   $$\begin{array}{rl}& -1=1\cdot 0+b\\ & b=-1\end{array}$$
3. Wzorem funkcji $g$ jest zatem:
   $$g(x)=x-1$$

1. Obliczamy długość przekątnej $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|AC|=\sqrt{(3-(-1){)}^2+(-3-5{)}^2}=\sqrt{4^2+(-8{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$
2. Pole kwadratu o przekątnej $d$ wyraża się wzorem $P=\frac{d^2}{2}$. Podstawiamy:
   $$P=\frac{(4\sqrt{5}{)}^2}{2}=\frac{80}{2}=40$$

1. Ostrosłup o podstawie będącej $n$-kątem ma $n+1$ wierzchołków ($n$ wierzchołków podstawy i $1$ wierzchołek szczytowy) oraz $2n$ krawędzi ($n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych):
   $$W=n+1,K=2n$$
2. Podstawiamy do danej proporcji i rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{n+1}{2n}=\frac{3}{5}\\ & 5(n+1)=6n\\ & 5n+5=6n\\ & n=5\end{array}$$
3. Podstawą ostrosłupa jest więc pięciokąt foremny.

1. Sprawdzamy, czy któreś dwie z podanych prostych są prostopadłe. Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Współczynniki kierunkowe podanych prostych to kolejno $\sqrt{3}$, $-\sqrt{3}$ oraz $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
2. Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych pierwszej i trzeciej prostej:
   $$\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1$$
3. Iloczyn jest równy $-1$, więc pierwsza i trzecia prosta są prostopadłe. W ich punkcie przecięcia (jednym z wierzchołków trójkąta $KLM$) powstaje więc kąt prosty, czyli trójkąt $KLM$ jest prostokątny. Poprawna odpowiedź to B oraz uzasadnienie 2.

1. Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wśród liczb oczek $1$–$6$ nieparzyste są $1,3,5$, czyli $3$ z $6$ możliwych wyników — prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby nieparzystej w jednym rzucie wynosi $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
2. Oba rzuty są niezależne, więc mnożymy prawdopodobieństwa:
   $$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

1. Skoro $|AP|:|PB|=1:3$, punkt $P$ dzieli odcinek $AB$ tak, że $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, czyli $P=A+\frac{1}{4}(B-A)$. Przekształcając to równanie, otrzymujemy:
   $$B=4P-3A$$
2. Obliczamy współrzędne punktu $B$:
   $$\begin{array}{rl}& B_x=4\cdot 3-3\cdot 1=12-3=9\\ & B_y=4\cdot 1-3\cdot 7=4-21=-17\end{array}$$
3. Zatem punkt $B$ ma współrzędne $(9,-17)$ — odpowiedź B.

1. Punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku, czyli jest środkiem przekątnej $AC$. Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
   $$S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$$
2. Podstawiamy współrzędne punktów $A=(-1,-4)$ i $S=(2,2)$ i wyznaczamy $x_C$:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{-1+x_C}{2}\\ & 4=-1+x_C\\ & x_C=5\end{array}$$
3. Analogicznie wyznaczamy $y_C$:
   $$\begin{array}{rl}& 2=\frac{-4+y_C}{2}\\ & 4=-4+y_C\\ & y_C=8\end{array}$$
4. Otrzymujemy $C=(5,8)$. Obliczamy długość odcinka $AC$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$\begin{array}{rl}& |AC|=\sqrt{(x_C-x_A{)}^2+(y_C-y_A{)}^2}\\ & |AC|=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(8-(-4){)}^2}\\ & |AC|=\sqrt{6^2+12^2}\\ & |AC|=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\end{array}$$

1. Liczba jest pięciocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być $0$ — może być $5$ albo $7$, czyli mamy $2$ możliwości na pierwszym miejscu.
2. Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr: $0$, $5$ lub $7$, czyli $3$ możliwości na każdym z $4$ miejsc.
3. Z reguły mnożenia liczba wszystkich takich liczb pięciocyfrowych jest równa:
   $$2\cdot 3^4$$

1. Z wykresu odczytujemy liczbę jabłek o poszczególnych masach:
   

   • $17$ dag - $2$ jabłka
   • $18$ dag - $6$ jabłek
   • $19$ dag - $8$ jabłek
   • $20$ dag - $17$ jabłek
   • $21$ dag - $11$ jabłek
   • $22$ dag - $3$ jabłka
   • $23$ dag - $3$ jabłka

   Sprawdzamy, że łącznie jest to $50$ jabłek:
   $$2+6+8+17+11+3+3=50$$
2. Normę jakości spełniają jabłka o masie $19$, $20$ lub $21$ dag. Liczba takich jabłek:
   $$8+17+11=36$$
3. Obliczamy prawdopodobieństwo w modelu klasycznym i skracamy ułamek:
   $$P=\frac{36}{50}=\frac{18}{25}$$