Dane są dwa równoległoboki: ABCD oraz ECFD… - Egzamin ósmoklasisty czerwiec 2023, zadanie 13, rozwiązanie

Zadanie 13 - Egzamin ósmoklasisty 2023 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

Dane są dwa równoległoboki:

A B C D

oraz

E C F D

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Bok $D C$ równoległoboku $A B C D$ jest jedną z wysokości równoległoboku $E C F D$ .	P	F
Pole równoległoboku $A B C D$ jest równe polu równoległoboku $E C F D$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Z rysunku odczytujemy, że odcinek $D E$ jest prostopadły do boku $A B$ (zaznaczony kąt prosty w punkcie $E$ ), więc $D E$ jest wysokością równoległoboku $A B C D$ poprowadzoną z wierzchołka $D$ na podstawę $A B$ .
Bok $D C$ równoległoboku $A B C D$ jest równoległy do $A B$ (przeciwległe boki równoległoboku są równoległe), więc $D C$ jest też prostopadły do $D E$ .
W równoległoboku $E C F D$ bok $E D$ jest równoległy do boku $C F$ . Odcinek $D C$ łączy punkt $D$ leżący na prostej $E D$ z punktem $C$ leżącym na prostej $C F$ i jest do obu prostopadły, więc $D C$ jest wysokością równoległoboku $E C F D$ opuszczoną na bok $E D$ . Zdanie pierwsze jest prawdziwe (P).
Obliczamy pole równoległoboku $A B C D$ , przyjmując za podstawę bok $A B$ , a za wysokość odcinek $D E$ .
$P_{A B C D} = ∣ A B ∣ \cdot ∣ D E ∣$
Obliczamy pole równoległoboku $E C F D$ , przyjmując za podstawę bok $E D$ , a za wysokość wyznaczony wcześniej odcinek $D C$ .
$P_{E C F D} = ∣ E D ∣ \cdot ∣ D C ∣$
Bok $D C$ równoległoboku $A B C D$ ma taką samą długość jak bok $A B$ (przeciwległe boki równoległoboku są równej długości), więc oba pola są sobie równe.
$P_{E C F D} = ∣ E D ∣ \cdot ∣ A B ∣ = P_{A B C D}$
Pola obu równoległoboków są równe. Zdanie drugie jest prawdziwe (P).

Zadanie 13 - Egzamin ósmoklasisty 2023 (czerwiec) - Rozwiązanie