Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 108

1 pkt

Która z podanych niżej liczb nie jest równa

3^{15}

? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

E.

9^{15} : 3

1
Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki.
$3 \cdot 3^{14} = 3^{1 + 14} = 3^{15} 3^{9} \cdot 3^{6} = 3^{9 + 6} = 3^{15}$

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Układy równań

1 pkt

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości $a$ i $b$ jest równy $60$ . Jeden z boków tego prostokąta jest o $10$ dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

Zadanie 7 Dowody geometryczne

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty

A

,

B

,

C

i

D

.
Wykaż, że jeżeli

∣∠ A D B ∣ = ∣∠ A C B ∣

, to

∣∠ B A C ∣ = ∣∠ B D C ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

.

Współczynnik

a

we wzorze funkcji

f

jest równy

Zadanie 7 Geometria analityczna

1 pkt

Boki trójkąta

A B C

są zawarte w prostych o równaniach

y = \frac{2}{3} x + 2

i

y = - x + 2

oraz osi

O x

układu współrzędnych (zobacz rysunek).

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Zadanie 8 Równania

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x + 1}{x + 2} = 3

, gdzie

x \neq = - 2

, jest liczba należąca do przedziału

Zadanie 8 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wartość wyrażenia

(- 2)^{4} : (- 2)^{3}

jest równa A/B.

Wartość wyrażenia

(- 2)^{2} \cdot (- 2)^{3}

jest równa C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Zadanie 8 Geometria analityczna

1 pkt

W układzie współrzędnych zaznaczono trójkąt

A B C

oraz punkt

P

należący do boku

B C

. Wszystkie współrzędne punktów

A

,

B

,

C

i

P

są liczbami całkowitymi.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole trójkąta $P A B$ jest równe polu trójkąta $P A C$ .
Pole trójkąta $A B C$ jest równe $21$ .

Zadanie 8 Statystyka

1 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki (w centymetrach) uzyskane przez zawodników uczestniczących w finale konkursu skoku wzwyż.

Ilu zawodników uzyskało wynik wyższy od średniej arytmetycznej wyników wszystkich uczestników finału tego konkursu? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 8 Dowody podzielności

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej

n

wyrażenie

n^{5} - 3 n^{4} - n + 3

jest podzielne przez

16

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - (x + 9)^{2} + m

jest przedział

(- \infty, - 5 ⟩

. Wtedy

Zadanie 8 Funkcja kwadratowa

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

.

Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 1, 4 ⟩

jest równa

Zadanie 8 Dowody algebraiczne

3 pkt

Liczby dodatnie

a

i

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Funkcja liniowa

1 pkt

Punkt

P = (- 3, 7)

leży na wykresie funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = (2 m - 1) x + 5

. Zatem

Zbiór zadań

Wyniki