Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 20

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

i

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz wszystkie wartości

m

, dla których trójkąt

A B C

jest ostrokątny.

m \in (\frac{- 1 - 17}{2}, - 2) \cup (1, \frac{- 1 + 17}{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Kąt przy wierzchołku $C$ jest kątem wpisanym w okrąg o średnicy $A B$ wtedy, gdy $C$ leży na tym okręgu - jest wówczas kątem prostym. Gdy $C$ leży poza kołem o średnicy $A B$ , kąt ten jest ostry, a gdy wewnątrz koła - rozwarty. Trójkąt $A B C$ jest więc ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy $C$ leży poza tym kołem oraz gdy dodatkowo leży między prostymi prostopadłymi do $A B$ poprowadzonymi przez punkty $A$ i $B$ (czyli na jednym z fragmentów $M_{1} M_{2}$ lub $N_{1} N_{2}$ paraboli - patrz rysunek).

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności

144 m^{3}

. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać

9

metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

$100$ zł za $1 m^{2}$ dna
$75$ zł za $1 m^{2}$ ściany bocznej

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

6 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołki

A

i

B

leżą na wykresie funkcji

f

określonej wzorem

f (x) = \frac{9}{x ^{4}}

dla

x \neq = 0

. Punkt

C

ma współrzędne

(0, - \frac{1}{3})

, a punkty

A

i

B

są położone symetrycznie względem osi

O y

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne wierzchołków

A

i

B

, dla których pole trójkąta

A B C

jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

o przeciwprostokątnej

A B

i obwodzie równym

4

. Niech

x = ∣ A C ∣

.

a) Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

jako funkcja zmiennej

x

jest określone wzorem

P (x) = \frac{x ( 4 - 2 x )}{4 - x}

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Nierówności

4 pkt

Rozwiąż nierówność

(\frac{1}{x} - 1)^{- 1} \leq 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wielomian

W

określony wzorem

W (x) = x^{2019} - 3 x^{2000} + 2 x + 6

Zadanie 1 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Wielomian

W (x) = x^{3} - x^{2} - x - 2

jest podzielny bez reszty przez wielomian

Zadanie 2 Granice

1 pkt

Granica

x \to + \infty lim (\frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 4} - x)

jest równa

Zadanie 2 Granice

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{3 n ^{2} + 7 n - 5}{11 - 5 n + 5 n ^{2}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Granica tego ciągu jest równa

Zadanie 3 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1}

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

.

Pochodna

f^{'}

tej funkcji jest określona wzorem

Zadanie 3 Dowody algebraiczne

3 pkt

Liczby dodatnie

a

i

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Zadanie 4 Wyrażenia algebraiczne

1 pkt

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego

(x 2 + y 3)^{4}

do postaci

a x^{4} + b x^{3} y + c x^{2} y^{2} + d x y^{3} + e y^{4}

współczynnik

c

jest równy

Zadanie 4 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Wyrażenie

\frac{1}{3 + 2 + 1}

jest równe

Zadanie 4 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki