Funkcja f jest określona wzorem f(x) = (3x+1)/(x²+1) dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Pochodna f' tej funkcji jest określona wzorem

f'(x) = (-3x²-2x+3)/((x²+1)²)

f'(x) = (9x²+2x+3)/((x²+1)²)

Zadanie 3 - Matura rozszerzona 2020 (lipiec) - Rozwiązanie

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1}

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

.

Pochodna

f^{'}

tej funkcji jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} - 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

Stosujemy wzór na pochodną ilorazu funkcji $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , gdzie $u (x) = 3 x + 1$ oraz $v (x) = x^{2} + 1$ .
$u^{'} (x) = 3, v^{'} (x) = 2 x$
Podstawiamy do wzoru na pochodną ilorazu i upraszczamy licznik.
$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x + 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} + 3 - 6 x ^{2} - 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} - 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$