Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2020 (F. 2005)

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).
Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Uzupełniamy rysunek: łączymy $C$ z $D$ oraz $D$ z $M$ . Punkt $P$ to środek odcinka $K L$ , czyli punkt styczności $K L$ z okręgiem. Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinek $K L$ jest równoległy do $A B$ . Oznaczamy $∣ C P ∣ = x$ .

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu planimetria