Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 15

3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

x = - \frac{8}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Zapisujemy równanie w każdym z przedziałów $(- \infty, 3)$ oraz $⟨ 3, + \infty)$ , opuszczając wartość bezwzględną zgodnie z jej definicją.

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 7 Pochodne

4 pkt

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej

480

litrów i nie może przekroczyć

530

litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji

(480 + x)

litrów dziennie przeciętny koszt

K

(w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

K (x) = \frac{22 x ^{2} - 621 , 5 x + 23 430}{480 + x}

, gdzie

x \in [0, 50]

.

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (3 x) = 2 sin x

w zbiorze

[0, π]

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Kombinatoryka

3 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

27500

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Nierówności

5 pkt

Rozwiąż nierówność

\frac{x - 1}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{2 - x} \geq \frac{3}{2 + x} + 2

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Nierówności

3 pkt

Rozwiąż nierówność

\frac{3 x + 1}{2 x + 1} \leq \frac{3 x + 4}{2 x + 3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

3 pkt

Punkt

P

jest punktem przecięcia przekątnych trapezu

A B C D

. Długość podstawy

C D

jest o

2

mniejsza od długości podstawy

A B

. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym

C P D

jest o

3

mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie

A P B

.

Wykaż, że spełniony jest warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody geometryczne

4 pkt

Dany jest trapez równoramienny

A B C D

o obwodzie

l

i podstawach

A B

oraz

C D

takich, że

∣ A B ∣ > ∣ C D ∣

. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna

A C

trapezu ma długość

d

(zobacz rysunek).

Wykaż, że promień

R

okręgu opisanego na trapezie

A B C D

jest równy

\frac{d \cdot l}{2 16 d ^{2} - l ^{2}}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Dowody geometryczne

3 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

przez punkt

O

przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków

B C

i

A D

. Prosta równoległa do boku

B C

przecina bok

A B

w punkcie

B^{'}

, a prosta równoległa do boku

A D

przecina bok

A B

w punkcie

A^{'}

. Wykaż, że

∣ A A^{'} ∣ = ∣ B B^{'} ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Wyrażenia algebraiczne

4 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - (5 m + 1) x - 2 m

przez dwumian

x + 2

jest równa

(- 30)

.
Oblicz

m

i dla wyznaczonej wartości

m

rozwiąż nierówność

W (x) \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Równania

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} < 5 x_{1}^{2} \cdot x_{2} + 5 x_{1} \cdot x_{2}^{2}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Geometria analityczna

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (9, 12)

jest wierzchołkiem trójkąta

A B C

. Prosta

k

o równaniu

y = \frac{1}{2} x

zawiera dwusieczną kąta

A B C

tego trójkąta. Okrąg

O

o równaniu

(x - 8)^{2} + (y - 4)^{2} = 16

jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki

B

i

C

tego trójkąta z okręgiem

O

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, którego iloraz

q

jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek

∣ q ∣ < 1

.
Stosunek sumy

S_{N}

wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy

S_{P}

wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj.

\frac{S _{N}}{S _{P}} = S_{N} - S_{P}

. Oblicz

q

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

6 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

i polu powierzchni bocznej równym

P

. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka

S

ma miarę

2 α

.
Objętość tego ostrosłupa jest równa

k \cdot P^{3} \cdot sin α \cdot cos (2 α)

, gdzie

k

jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik

k

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość

a

. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

takim, że

cos α = \frac{10}{10}

. Przez krawędź

B C

podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę

π

prostopadłą do ściany bocznej

S A D

.

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę

π

i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki