Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 69

4 pkt

Działka ma kształt trapezu. Podstawy

A B

i

C D

tego trapezu mają długości

∣ A B ∣ = 400

m oraz

∣ C D ∣ = 100

m. Wysokość trapezu jest równa

75

m, a jego kąty

D A B

i

A B C

są ostre.
Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie

A B

tego trapezu, a dwa pozostałe –

E

oraz

F

– na ramionach

A D

i

B C

trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka:
Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu

A B C D

jest sumą pól trapezów

A B F E

oraz

E F C D

:

P_{A B C D} = P_{A B F E} + P_{E F C D}

x = 50

m,

y = 200

m,

P_{ma x} = 10000

m

^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku:
- $x$ - wysokość prostokąta
- $y$ - długość boku $E F$
Odcinek $E F$ dzieli trapez $A B C D$ na trapezy $A B F E$ i $E F C D$ o wysokościach $x$ i $75 - x$ . Ze wskazówki pole trapezu $A B C D$ jest sumą ich pól.

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

A = (0, 3)

. Punkt

B = (2, 0)

leży na wykresie funkcji

f

.
Wyznacz wzór funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 33 Funkcja kwadratowa

4 pkt

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po

196

złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P (x) = 196 x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją

$K (x) = 4 x^{2} + 4 x + 240$

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej

30

krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Geometria analityczna

2 pkt

W kwadracie

A B C D

punkty

A = (- 8, - 2)

oraz

C = (0, 4)

są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną

B D

tego kwadratu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{2 x - 3}{3 x - 2} = \frac{1}{2 x}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 34 Planimetria

2 pkt

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

A B C

o przeciwprostokątnej

B C

punkt

D

jest środkiem ramienia

A B

. Odcinek

C D

ma długość

5

(zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

W trapezie równoramiennym

A B C D

podstawa

C D

ma długość

5

. Punkt

F = (3, 11)

jest środkiem odcinka

C D

. Prosta o równaniu

y = - \frac{4}{3} x + 15

jest osią symetrii tego trapezu oraz

B = (\frac{23}{2}, 8)

.
Oblicz współrzędne wierzchołka

A

oraz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria analityczna

5 pkt

Punkty

A = (\frac{22}{5}, - \frac{21}{5})

,

B = (6, 7)

oraz

C = (- 9, 2)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

.
Symetralna boku

A B

tego trójkąta przecina bok

B C

w punkcie

D

.
Oblicz współrzędne punktu

D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 36 Geometria przestrzenna

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D E F

jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

,

∣ A B ∣ = 8

. Wysokość trójkąta

A B C

, poprowadzona z wierzchołka

C

, ma długość

3

. Przekątna

C E

ściany bocznej tworzy z krawędzią

C B

podstawy

A B C

kąt

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}

jest równa

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Liczba

128 : 364

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 27 - lo g_{27} 3

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Wiadomo, że

lo g_{5} 2 = a

i

lo g_{5} 3 = b

. Wtedy liczba

lo g_{18} 40

jest równa

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Liczba

(28 - 32)^{2}

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

3 pkt

Dane są liczby

a = lo g_{2} 3

oraz

b = lo g_{3} 7

.

Wyraź

lo g_{4} 49

za pomocą liczb

a

oraz

b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki