Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, stąd wyznaczamy bok:
   $$a=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=12$$
2. Obliczamy pole ze wzoru $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$:
   $$P=\frac{12^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}$$

1. Pole równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\alpha$ między nimi wyraża się wzorem $P=a\cdot b\cdot \sin \alpha$. Podstawiamy dane:
   $$P=6\cdot 10\cdot \sin 120°=60\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$$

1. Promień koła jest równy długości boku kwadratu, czyli $8$. Ponieważ kąt $DAB$ kwadratu jest prosty, a $|AD|=|AB|=8$ jest równe promieniowi, okrąg przechodzi dokładnie przez wierzchołki $D$ i $B$. Częścią wspólną koła i kwadratu jest więc ćwiartka koła o promieniu $8$, ograniczona bokami $AD$, $AB$ i łukiem $DB$.
2. Pole ćwiartki koła o promieniu $r=8$ obliczamy ze wzoru:
   $$P=\frac{1}{4}\pi r^2=\frac{1}{4}\pi \cdot 8^2=16\pi$$

1. Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$:
   $$\frac{2}{3}\cdot (2m-1)=-1$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 2m-1=-\frac{3}{2}\\ & 2m=-\frac{1}{2}\\ & m=-\frac{1}{4}\end{array}$$

1. Prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma wzór $y=kx$.
2. Podstawiamy współrzędne punktu $A$, aby wyznaczyć $k$:
   $$6=k\cdot (-2)⟹k=-3$$
3. Podstawiamy $k$ i pierwszą współrzędną punktu $B$:
   $$b=k\cdot 3=-3\cdot 3=-9$$

1. W rombie przekątne przecinają się w połowie swojej długości, więc przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek. Wystarczy obliczyć środek odcinka $AC$:
   $$S=\left(\frac{1+(-2)}{2},\frac{-3+4}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

1. Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$.
2. Sprawdzamy iloczyny współczynników kierunkowych dla par prostych:
   $$\begin{array}{rl}& k\cdot l:(-1)\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\\ & k\cdot n:(-1)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}\\ & l\cdot m:\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-1\\ & m\cdot n:\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=1\end{array}$$
3. Jedynie iloczyn współczynników kierunkowych prostych $l$ i $m$ jest równy $-1$, więc to one są prostopadłe.

1. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste, a kąty $AOD$ i $BOC$ są kątami wierzchołkowymi (równymi), więc trójkąty $AOD$ i $BOC$ są podobne (cecha kkk).
2. Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja odpowiednich boków:
   $$\frac{AD}{BC}=\frac{OD}{OC}$$
3. Podstawiamy dane $|AD|=4$, $|BC|=6$, $|OD|=6$ i wyznaczamy $|OC|$:
   $$\begin{array}{rl}& \frac{4}{6}=\frac{6}{OC}\\ & OC=\frac{6\cdot 6}{4}=9\end{array}$$

1. Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia arytmetyczna pierwszych współrzędnych jego końców:
   $$\frac{4+b}{2}=-12$$
2. Rozwiązujemy równanie:
   $$\begin{array}{rl}& 4+b=-24\\ & b=-28\end{array}$$

1. W równoległoboku $ABCD$ przekątne $AC$ i $BD$ mają wspólny środek, więc wierzchołek $D$ wyznaczamy ze wzoru $D=A+C-B$:
   $$D=(-6+10-5,5-3-7)=(-1,-5)$$
2. Obliczamy długość odcinka $BD$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
   $$|BD|=\sqrt{(5-(-1){)}^2+(7-(-5){)}^2}=\sqrt{36+144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$$