Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Sprawdzamy, czy $10$ jest wyrazem ciągu $(a_n)$:
   $$3n=10⟹n=\frac{10}{3}$$
2. Liczba $n=\frac{10}{3}$ nie jest liczbą naturalną, więc $10$ nie jest wyrazem ciągu $(a_n)$.
3. Sprawdzamy, czy $10$ jest wyrazem ciągu $(b_n)$:
   $$4n-2=10⟹n=3$$
4. Liczba $n=3$ jest liczbą naturalną, więc $10$ jest wyrazem ciągu $(b_n)$.

1. Upraszczamy wzór ciągu, dzieląc licznik przez $n$:
   $$a_n=\frac{2n^2-30n}{n}=2n-30$$
2. Podstawiamy $n=7$:
   $$a_7=2\cdot 7-30=14-30=-16$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $6$ (wspólny mianownik), aby pozbyć się ułamków:
   $$6\left(2-\frac{x}{2}\right)\ge 6\left(\frac{x}{3}-3\right)$$
2. Wymnażamy:
   $$12-3x\ge 2x-18$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}12+18& \ge 2x+3x\\ 30& \ge 5x\\ 6& \ge x\end{array}$$
4. Rozwiązaniem nierówności jest $x\le 6$. Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $6$.

1. Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_{10}=a_5+5r$, gdzie $r$ to różnica ciągu.
   $$a_{10}-a_5=5r$$
2. Podstawiamy dane wartości i wyznaczamy różnicę:
   $$\begin{array}{rl}& -66-(-31)=5r\\ & -35=5r\\ & r=-7\end{array}$$

1. Iloraz ciągu wynosi $q=2$, a drugi wyraz $a_2=2$. Wyznaczamy pierwszy wyraz:
   $$\begin{array}{rl}& a_2=a_1\cdot q\\ & 2=a_1\cdot 2\\ & a_1=1\end{array}$$
2. Sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru $S_5=a_1\cdot \frac{q^5-1}{q-1}$:

1. Obliczamy, ile guzików produkuje jedna maszyna w ciągu jednej godziny:
   $$\frac{1200}{3\cdot 2}=200$$
2. Pięć maszyn w ciągu jednej godziny wyprodukuje:
   $$5\cdot 200=1000$$

1. Wyrażamy $a_5$ przez $a_3$ i iloraz $q$:
   $$a_5=a_3\cdot q^2$$
2. Podstawiamy do równania $9a_5=4a_3$ i dzielimy obie strony przez $a_3$ (wyraz dodatni, więc $a_3\ne 0$):
3. Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni:
   $$q=\frac{2}{3}$$

1. Sprawdzamy monotoniczność ciągu, obliczając różnicę kolejnych wyrazów:
   $$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}-a_n& =2(n+1{)}^2+(n+1)-\left(2n^2+n\right)\\ & =4n+3\end{array}$$
2. Dla $n\ge 1$ różnica $4n+3>0$, więc ciąg $(a_n)$ jest rosnący, a nie malejący — pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
3. Obliczamy ósmy wyraz ciągu:
   $$a_8=2\cdot 8^2+8=2\cdot 64+8=136$$
4. Otrzymana wartość zgadza się z podaną w treści — drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).