Zadanie 34 - Matura podstawowa 2023 (czerwiec, F. 2015) - Rozwiązanie

2 pkt

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

A B C

o przeciwprostokątnej

B C

punkt

D

jest środkiem ramienia

A B

. Odcinek

C D

ma długość

5

(zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta

A B C

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

L = 45 + 210

Oznaczmy przez $a$ długość przyprostokątnej $A C$ (równej przyprostokątnej $A B$ , bo trójkąt $A B C$ jest prostokątny równoramienny). Punkt $D$ jest środkiem $A B$ , więc $∣ A D ∣ = \frac{1}{2} a$ .
Kąt przy wierzchołku $A$ jest prosty, więc do trójkąta $C A D$ stosujemy twierdzenie Pitagorasa:
$a^{2} + (\frac{1}{2} a)^{2} = 5^{2} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2} = 25 \frac{5}{4} a^{2} = 25 a^{2} = 20 a = 25$
Obliczamy obwód trójkąta $A B C$ , korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla przeciwprostokątnej $∣ B C ∣ = a 2$ :
$L = a + a + a 2 = 2 \cdot 25 + 25 \cdot 2 = 45 + 210$

Podobne zadania z działu planimetria