Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Licznik pierwszego ułamka rozkładamy na czynniki, wyciągając $x$ przed nawias:
   $$x^2+x=x(x+1)$$
2. Zapisujemy iloczyn ułamków i skracamy wspólny czynnik $x$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{x(x+1)}{(x-2{)}^2}\cdot \frac{x-2}{x}=\frac{\bcancel{x}(x+1)}{(x-2{)}^2}\cdot \frac{x-2}{\bcancel{x}}=\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2{)}^2}$$
3. Zapisujemy $(x-2{)}^2$ jako $(x-2)\cdot (x-2)$ i skracamy jeden czynnik $(x-2)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x-2)}=\frac{(x+1)\bcancel{(x-2)}}{\bcancel{(x-2)}(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}$$

1. Liczbę $x$ powiększamy o $7$, co zapisujemy jako $x+7$, a następnie ten wynik zwiększamy $4$-krotnie, czyli mnożymy CAŁE wyrażenie przez $4$ – dlatego potrzebny jest nawias:
   $$4(x+7)$$
2. Liczbę $y$ zwiększamy $5$-krotnie, czyli mnożymy przez $5$, a dopiero do otrzymanego wyniku dodajemy $3$:
   $$5y+3$$
3. Poprawna para wyrażeń to $4(x+7)$ oraz $5y+3$ – to odpowiedź A.

1. Przekształcamy nierówność równoważnie, przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę:
   $$\begin{array}{rl}x(2x-1)& <2x\\ 2x^2-x& <2x\\ 2x^2-3x& <0\end{array}$$
2. Wyłączamy $2x$ przed nawias:
   $$2x\left(x-\frac{3}{2}\right)<0$$
3. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero — odczytujemy miejsca zerowe trójmianu:
   $$x=0\text{lub}x=\frac{3}{2}$$
4. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni ($a=2>0$), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Szukamy zbioru $x$, dla których wykres jest pod osią $Ox$, czyli między miejscami zerowymi:
   

1. Wyznaczamy dziedzinę równania: mianownik nie może być równy zero, więc:
   $$x\ne 1\text{oraz}x\ne -1$$
2. Zapisujemy kwadraty jako iloczyny i skracamy wspólne czynniki $(x+1)$ i $(x-1)$:
   $$\frac{(x+1)(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+1)}=\frac{x-1}{x+1}$$
3. Otrzymane (uproszczone) równanie $\frac{x-1}{x+1}=0$ jest spełnione tylko dla $x=1$. Jednak liczba $1$ nie należy do dziedziny wyznaczonej w pierwszym kroku, więc wyjściowe równanie nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

1. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Rozwiązujemy równanie z licznika:
   $$\begin{array}{rl}& x^2-3x=0\\ & x(x-3)=0\\ & x=0\text{ lub }x=3\end{array}$$
2. Drugi czynnik licznika, $x^2+1$, nie ma miejsc zerowych, bo $x^2+1\ge 1$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, więc nie daje żadnych dodatkowych rozwiązań.
3. Sprawdzamy dziedzinę: mianownik $x^2-25$ zeruje się dla $x=5$ oraz $x=-5$. Żadna z tych liczb nie pokrywa się z otrzymanymi rozwiązaniami $x=0$ i $x=3$, więc oba są poprawne.
4. Równanie ma zatem dokładnie dwa rozwiązania: $x=0$ oraz $x=3$.

1. Zamieniamy $3$ minuty na sekundy, żeby porównać czas z okresem $10$ sekund podanym w treści.
   $$3\cdot 60=180$$
2. Sprawdzamy, ile pełnych okresów po $10$ sekund mieści się w $180$ sekundach.
   $$180:10=18$$
3. W każdym takim okresie Ewa robi $a$ kroków, więc łączna liczba kroków to $18$ razy $a$.
   $$18\cdot a=18a$$
4. Ewa zrobi $18a$ kroków (odpowiedź B).

1. Skoro $W(x)=(x+1)\cdot Q(x)$, to liczba $x=-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$, czyli $W(-1)=0$.
2. Obliczamy $W(-1)$:
   $$W(-1)=-3\cdot (-1{)}^3-(-1{)}^2+k\cdot (-1)+1=3-1-k+1=3-k$$
3. Przyrównujemy do zera i wyznaczamy $k$:
   $$3-k=0⟹k=3$$

1. Szacujemy $\sqrt{110}$ i $\sqrt{300}$, porównując te liczby z kwadratami kolejnych liczb naturalnych.
   $$\begin{array}{rl}& 10^2=100<110<121=11^2\\ & \text{więc }10<\sqrt{110}<11\\ & 17^2=289<300<324=18^2\\ & \text{więc }17<\sqrt{300}<18\end{array}$$
2. Liczby naturalne $m$ spełniające warunek $\sqrt{110}<m<\sqrt{300}$ to kolejne liczby od $11$ do $17$.
3. Liczb tych jest $7$, czyli poprawna jest odpowiedź A.
4. Analogicznie szacujemy $\sqrt[3]{10}$ i $\sqrt[3]{127}$, porównując je z sześcianami kolejnych liczb naturalnych.
5. Liczby naturalne $k$ spełniające warunek $\sqrt[3]{10}<k<\sqrt[3]{127}$ to $3,4,5$. Jest ich $3$, czyli poprawna jest odpowiedź D.