Określamy kwadraty K1,K2,K3,… następująco: • K1 jest kwadratem o boku długości a • K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n≥2, • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn−1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3.
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa 8 cm. Plan miasta został wykonany w skali 1:4000.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
Ostrosłup o podstawie n-kątnej ma n wierzchołków podstawy oraz jeden wspólny wierzchołek wszystkich ścian bocznych, czyli n+1 wierzchołków. Skoro ten ostrosłup ma 16 wierzchołków, to:
n+1=16⟹n=15
Podstawą tego ostrosłupa jest więc piętnastokąt. Graniastosłup o takiej samej podstawie ma dwie podstawy i żadnego wspólnego wierzchołka, czyli 2n wierzchołków:
2⋅15=30
Ten graniastosłup ma 30 wierzchołków – to odpowiedź B.
L=38(4+10)a
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Z wykresu odczytujemy, że obie proste przecinają się w punkcie (1,1) — jedna z prostych jest malejąca, druga rosnąca.
Prosta malejąca przechodzi przez punkty (−3,5) oraz (2,0), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
a=2−(−3)0−5=5−5=−1
Podstawiając punkt (2,0) do wzoru y=−x+b, wyznaczamy wyraz wolny:
0=−2+b⟹b=2
Prosta rosnąca przechodzi przez punkty (0,−1) oraz (1,1), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:
a=1−01−(−1)=2
Podstawiając punkt (0,−1) do wzoru y=2x+b, wyznaczamy wyraz wolny:
−1=2⋅0+b⟹b=−1
Zatem układ równań przedstawiony na rysunku to:
{y=−x+2y=2x−1
B.3x+2y=−12 i 2x+y=10
C.x+y=−2 i x−2y=4
D.x−y=−14 i −2x+y=22
D. x−y=−14 i −2x+y=22
Podstawiamy współrzędne punktu (−8,6) do obu równań z odpowiedzi D i sprawdzamy, czy są spełnione:
−8−6=−14−2⋅(−8)+6=16+6=22
Obie równości są prawdziwe, więc punkt (−8,6) jest punktem przecięcia prostych z odpowiedzi D. Dla pozostałych par co najmniej jedno z równań nie jest przez ten punkt spełnione.
B.500 m
C.3200 m
D.5000 m
A. 320 m
Skala 1:4000 oznacza, że 1 cm na planie odpowiada 4000 cm w terenie. Obliczamy rzeczywistą odległość w centymetrach:
8⋅4000=32000cm
Zamieniamy otrzymaną odległość na metry (1 m =100 cm):
32000cm=320m
Odległość w terenie jest równa 320 m – to odpowiedź A.
PF
Wyznaczamy miejsce zerowe, przyrównując f(x) do zera:
−61x+32=061x=32x=4
Miejscem zerowym jest rzeczywiście liczba 4, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Punkt przecięcia wykresu z osią Oy to (0,f(0)):
f(0)=−61⋅0+32=32
Współrzędne punktu przecięcia to (0,32), a nie (0,−61), więc drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
B.251
C.21
D.994
A. 452
Liczby dwucyfrowe dodatnie to liczby od 10 do 99. Obliczamy, ile ich jest.
99−10+1=90
Wśród nich wypisujemy liczby podzielne przez 20.
20,40,60,80
Liczb podzielnych przez 20 jest 4. Prawdopodobieństwo to stosunek liczby wyników sprzyjających do liczby wszystkich wyników.
P=904=2⋅452⋅2=452
Szukane prawdopodobieństwo jest równe 452 (odpowiedź A).
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. trzy rozwiązania.
D. cztery rozwiązania.
B. dwa rozwiązania.
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:
x2−3xx2−4=x(x−3)=(x−2)(x+2)
Zapisujemy równanie w postaci iloczynowej. Mianownik nie może być równy zero, więc dziedziną równania jest zbiór liczb rzeczywistych bez 2 i −2:
(x−2)(x+2)x(x−3)(x+2)=0,x=2,x=−2
Ułamek jest równy zero, gdy licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera. Licznik zeruje się dla x=0, x=3 lub x=−2 — jednak x=−2 nie należy do dziedziny, więc to rozwiązanie odrzucamy:
x=0lubx=3
Oba pierwiastki należą do dziedziny równania, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
m∈(−4−26,0)∪(0,91)
Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Proste nie mają punktów wspólnych, gdy są równoległe i różne — czyli mają ten sam współczynnik kierunkowy, a różne wyrazy wolne. Porównujemy współczynniki kierunkowe obu funkcji:
2m+3=−1
Rozwiązujemy równanie:
2m+32mm=−1=−4=−2
Sprawdzamy wyrazy wolne: funkcja f ma wyraz wolny 5, a funkcja g wyraz wolny 0 — są różne, więc dla m=−2 proste rzeczywiście nie mają punktów wspólnych.
A.f(x)=−21x+1
B.f(x)=−31x+31
C.f(x)=−2x+2
D.f(x)=−3x+1
C. f(x)=−2x+2
Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b. Z warunków zadania f(1)=0 (miejsce zerowe) oraz f(−1)=4 (wykres przechodzi przez ten punkt). Zapisujemy układ równań:
{a+b=0−a+b=4
Dodajemy równania stronami:
2b=4b=2
Podstawiamy b=2 do pierwszego równania:
a+2=0⟹a=−2
Wzór funkcji:
f(x)=−2x+2
B.60hkm
C.90hkm
D.120hkm
C. 90hkm
Zamieniamy czas z minut na godziny, żeby prędkość wyszła w kilometrach na godzinę.
12 min=6012 h=51 h
Prędkość obliczamy, dzieląc długość trasy przez czas przejazdu.
v=ts=5118=18⋅5=90
Samochód przejechał trasę z prędkością 90hkm (odpowiedź C).