Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Marcin odlał $\frac{1}{3}\cdot k$ litrów wody, a Magda odlała kolejne $3$ litry. Łączna odlana objętość wody jest równa:
   $$\frac{1}{3}\cdot k+3$$
2. Objętość wody, która pozostała w naczyniu, to początkowa objętość $k$ pomniejszona o łączną odlaną objętość:
   $$k-\left(\frac{1}{3}\cdot k+3\right)$$
3. Odpowiedź A.

1. Zauważamy, że $\sqrt{3}-2$ jest liczbą przeciwną do $2-\sqrt{3}$, a podniesienie liczby przeciwnej do kwadratu daje ten sam wynik:
   $$(\sqrt{3}-2{)}^2={\left(-(2-\sqrt{3})\right)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2$$
2. Podstawiamy do wyrażenia. Oba składniki są sobie równe, więc ich różnica wynosi:
   $$(2-\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}-2{)}^2=(2-\sqrt{3}{)}^2-(2-\sqrt{3}{)}^2=0$$

1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ dla $a=1+\sqrt{5}$ i $b=1-\sqrt{5}$:
   $$\begin{array}{rl}& {\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2=\\ & =\left[(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})\right]\cdot \left[(1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})\right]\end{array}$$
2. Upraszczamy każdy z nawiasów:
   $$\begin{array}{rl}& (1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}\\ & (1+\sqrt{5})+(1-\sqrt{5})=2\end{array}$$
3. Mnożymy otrzymane wyniki:
   $$2\sqrt{5}\cdot 2=4\sqrt{5}$$

1. Mnożymy obie strony nierówności przez $3$, aby pozbyć się ułamka:
   $$-6(x+3)\le 2-x$$
2. Wymnażamy nawias po lewej stronie:
   $$-6x-18\le 2-x$$
3. Przenosimy wyrazy z $x$ na lewą stronę, a liczby na prawą:
   $$\begin{array}{rl}-6x+x& \le 2+18\\ -5x& \le 20\end{array}$$
4. Dzielimy obie strony przez $-5$, zmieniając przy tym znak nierówności (dzielimy przez liczbę ujemną):
   $$x\ge -4$$
5. Zatem zbiorem rozwiązań jest przedział $[-4,\infty )$.

1. Z pierwszego równania wyznaczamy $x$:
   $$x=3y-5$$
2. Podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy:
   $$\begin{array}{rl}& 2(3y-5)+y+3=0\\ & 6y-10+y+3=0\\ & 7y-7=0\\ & y=1\end{array}$$
3. Obliczamy $x$:
   $$x=3\cdot 1-5=-2$$

1. Niech $x$ oznacza liczbę jabłoni. Liczba grusz jest o $40\%$ większa od liczby jabłoni, więc grusz jest $1,4x$.
2. Jabłoni jest o $50$ mniej niż grusz, więc zapisujemy równanie i rozwiązujemy je.
   $$\begin{array}{rl}& x=1,4x-50\\ & 50=1,4x-x\\ & 50=0,4x\\ & x=125\end{array}$$
3. W sadzie rośnie $125$ jabłoni (odpowiedź D).

1. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero (czynnik $\sqrt{3}$ nigdy nie jest zerem):
   $$x^2-2=0\text{lub}x+3=0$$
2. Rozwiązujemy pierwsze równanie:
   $$x^2=2⟹x=\sqrt{2}\text{ lub }x=-\sqrt{2}$$
3. Rozwiązujemy drugie równanie:
   $$x+3=0⟹x=-3$$
4. Rozwiązaniami równania są liczby $\sqrt{2}$, $-\sqrt{2}$ oraz $-3$. Wśród podanych odpowiedzi występuje $\sqrt{2}$.

1. Sprowadzamy oba składniki do wspólnego mianownika $2x$:
   $$\frac{1}{2x}-x=\frac{1}{2x}-\frac{2x\cdot x}{2x}=\frac{1-2x^2}{2x}$$

1. Trzeci dzień zajęć przypada w pierwszym tygodniu kursu, więc zgodnie z tabelą zwrot wynosi $85\%$ wpłaconej kwoty.
2. Obliczamy kwotę zwrotu:
   $$800\cdot 85\%=800\cdot 0,85=680$$
3. Organizator zwrócił studentowi $680$ zł - odpowiedź C.

1. Rozkładamy licznik i mianownik pierwszego ułamka oraz licznik drugiego na czynniki:
   $$x^2+4x+4=(x+2{)}^2,x^2+2x=x(x+2)$$
2. Zapisujemy $2x+6=2(x+3)$ i podstawiamy rozkłady do wyrażenia:
   $$\frac{x+3}{(x+2{)}^2}\cdot \frac{x(x+2)}{2(x+3)}$$
3. Skracamy wspólny czynnik $(x+3)$ w liczniku i mianowniku:
   $$\frac{\bcancel{(x+3)}\cdot x(x+2)}{(x+2{)}^2\cdot 2\cdot \bcancel{(x+3)}}=\frac{x(x+2)}{2(x+2{)}^2}$$
4. Skracamy jeden czynnik $(x+2)$ w liczniku z jednym z dwóch czynników $(x+2)$ w mianowniku:
   $$\frac{x\cdot \bcancel{(x+2)}}{2\cdot \bcancel{(x+2)}\cdot (x+2)}=\frac{x}{2(x+2)}=\frac{x}{2x+4}$$