Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 149

1 pkt

Wartość wyrażenia

sin^{2} 75° - cos^{2} 75°

jest równa

D.

\frac{3}{2}

1
Wyłączamy minus przed nawias, żeby dostać wzór na cosinus podwojonego kąta.
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α sin^{2} 75° - cos^{2} 75° = - (cos^{2} 75° - sin^{2} 75°) = - cos 150°$

Zadanie 3 Planimetria

1 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

dane są:

∣ A D ∣ = 6

,

∣ B C ∣ = 12

,

∣ A C ∣ = 10

oraz

∣ ∢ A B C ∣ = ∣ ∢ C A D ∣

(zobacz rysunek).

Wówczas długość podstawy

A B

tego trapezu jest równa

Zadanie 4 Geometria przestrzenna

1 pkt

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

Zadanie 5 Granice

1 pkt

Granica

n \to \infty lim \frac{- 7 n ^{3} + 3 n}{1 + 2 n + 3 n ^{2} + 4 n ^{5}}

jest równa

Zadanie 6 Ciągi

2 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla

n \geq 1

, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

12

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Dane są zdarzenia losowe

A, B \subset Ω

takie, że

P (A) = \frac{2}{7}

i

P (A \cup B) = \frac{3}{5}

. Oblicz

P (B ∖ A)

, gdzie zdarzenie

B ∖ A

oznacza różnicę zdarzeń

B

i

A

. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody algebraiczne

4 pkt

Wykaż, że dla

a, b, c, d > 0

prawdziwa jest nierówność

a + b \cdot c + d \geq a c + b d

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Nierówności

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x^{2} - 3 x + 2∣ \geq ∣ x - 1∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

3 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony dla każdej liczby całkowitej

n \geq 1

, w którym

a_{4} = 4

oraz dla każdej liczby

n \geq 1

prawdziwa jest równość

a_{n + 1} = a_{n} + n - 4

. Oblicz pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Dowody geometryczne

3 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

. Przez wierzchołki

A

i

C

oraz środek

K

krawędzi

B F

poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną

B H

w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣ B P ∣ : ∣ H P ∣ = 1 : 3

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Funkcje

4 pkt

Liczba

m

jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

k^{2} x^{2} + (k - 1) x + 1 = 0

, gdzie

k \neq = 0

.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem

f (x) = 2^{m}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Trygonometria

3 pkt

Rozwiąż nierówność

(2 sin x - 3) (2 sin x + 1) > 0

w przedziale

x \in (0, 2 π)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14 Trygonometria

4 pkt

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy

\frac{1}{2}

. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Kombinatoryka

4 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

28750

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Geometria analityczna

5 pkt

Punkty

A = (- 7, - 2)

i

B = (4, - 7)

są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego

A B C

, a wysokość opuszczona z wierzchołka

A

tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

2 x + 19 y + 52 = 0

. Oblicz współrzędne wierzchołka

C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki