Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 21

2 pkt

W trójkącie

A B C

bok

A B

jest 3 razy dłuższy od boku

A C

, a długość boku

B C

stanowi

\frac{4}{5}

długości boku

A B

. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta

A B C

.
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

cos β = \frac{43}{45}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenia boków, korzystając z podanych proporcji. Przyjmujemy $A C = 5 k$ (dla pewnego $k > 0$ ), skąd $A B$ i $B C$ wynoszą:
$A B = 3 \cdot A C = 15 k, B C = \frac{4}{5} \cdot A B = 12 k$

Zadanie 5 Ciągi

2 pkt

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równa

2

, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

3

. Oblicz iloraz ciągu

(a_{n})

.

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Ciągi

3 pkt

Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

2

. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{n} = 3 \cdot a_{n + 1} + n^{2}

. Oblicz sumę

a_{1} + a_{2} + a_{3}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Wartość bezwzględna

3 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Planimetria

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 7 Dowody geometryczne

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty

A

,

B

,

C

i

D

.
Wykaż, że jeżeli

∣∠ A D B ∣ = ∣∠ A C B ∣

, to

∣∠ B A C ∣ = ∣∠ B D C ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody algebraiczne

3 pkt

Liczby dodatnie

a

i

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody podzielności

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej

n

wyrażenie

n^{5} - 3 n^{4} - n + 3

jest podzielne przez

16

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Planimetria

4 pkt

W trójkącie równoramiennym

A B C

:

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 10

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Na boku

B C

wybrano punkt

P

, taki, że

\frac{∣ B P ∣}{∣ P C ∣} = \frac{2}{3}

. Oblicz sinus kąta

α

(zobacz rysunek).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 cos 2 x + 10 cos^{2} x = 24 sin x - 3

dla

x \in ⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

4 sin^{3} x + sin 2 x = 2 sin^{2} x \cdot (2 cos x + 1)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

spełniona jest równość

a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{21}{4}

.
Wyrazy

a_{1}

,

a_{2}

,

a_{3}

są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz

a_{1}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Logarytmy

4 pkt

Dla pewnych liczb rzeczywistych

a > 1

,

b > 1

i

N > 1

jest spełniona równość

lo g_{a^{2} b} N = \frac{3}{20} \cdot (lo g_{a} N + lo g_{b} N)

.

Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia

lo g_{a} b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Funkcja kwadratowa

5 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

o boku długości

2

. Na bokach

B C

i

C D

tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty

P

i

Q

, takie, że długość odcinka

∣ P C ∣ = ∣ Q D ∣ = x

(zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość

x

, dla której pole trójkąta

A P Q

osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Nierówności

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których nierówność

(m^{2} + 4 m - 5) \cdot x^{2} + 2 x > 2 m x - 2

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki