Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 14

1 pkt

Jeżeli

cos β = - \frac{1}{3}

i

β \in (π, \frac{3}{2} π)

, to wartość wyrażenia

sin (β - \frac{1}{3} π)

jest równa

A.

\frac{- 2 2 + 3}{6}

1
Zastosuj wzór na sinus różnicy kątów.
$sin (β - \frac{1}{3} π) = sin β cos \frac{π}{3} - cos β sin \frac{π}{3}$

Zadanie 3 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

7

, a suma

S

wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

8

.

Wyznacz wszystkie wartości

n

, dla których spełniona jest nierówność

\frac{S - S _{n}}{S _{n}} < 0, 001

gdzie

S_{n}

oznacza sumę

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Planimetria

1 pkt

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach

5

i

8

jest równe

12

. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Zadanie 4 Funkcja kwadratowa

5 pkt

Dane jest równanie

(x - 6) \cdot [(m - 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + m + 1] = 0

z niewiadomą

x

i parametrem

m \in R

.

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Prawdopodobieństwo

3 pkt

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona

200

g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż

200

g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe

0, 1

. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo

20

torebek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych

20

losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Prawdopodobieństwo

1 pkt

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.
Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Zadanie 5 Granice

2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

wzorem

a_{n} = \frac{( 7 p - 1 ) n ^{3} + 5 p n - 3}{( p + 1 ) n ^{3} + n ^{2} + p}

, gdzie

p

jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość

p

, dla której granica ciągu

(a_{n})

jest równa

\frac{4}{3}

.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Dowody podzielności

3 pkt

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez

4

jest liczbą podzielną przez

36

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

6 sin x + 23 cos x + 3 tg x + 3 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 5 Prawdopodobieństwo

2 pkt

Wśród

390

pracowników pewnej firmy jest

150

kobiet i

240

mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest

21

kobiet i

43

mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest mężczyzną.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, spełniona jest nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Planimetria

4 pkt

W trójkącie

A B C

poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki

B C

,

A C

i

A B

tego trójkąta w punktach - odpowiednio -

K

,

L

oraz

M

. Punkt

P

jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach

C L P K

oraz

B K P M

można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt

A B C

jest równoboczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6 Dowody algebraiczne

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

2 x > y

, spełniona jest nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y \geq y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6.1 Dowody algebraiczne

2 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Niech

R

będzie punktem leżącym na wykresie funkcji

g

.

Wykaż, że odległość punktu

R

od punktu

P

wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie

x

jest pierwszą współrzędną punktu

R

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 6.2 Pochodne

6 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu

K

, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca

K

toru od początku

P

) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki