Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na… - Matura rozszerzona marzec 2022, zadanie 6.2, rozwiązanie

Zadanie 6.2, matura rozszerzona marzec 2022

6 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu

K

, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca

K

toru od początku

P

) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Poprawna odpowiedź

K = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})

∣ P K ∣ = \frac{5 2}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Najpierw pokażemy, że punkt $K$ leży na wykresie funkcji $g$ . Niech $A$ i $B$ będą punktami przecięcia wykresów funkcji $f$ i $g$ .
Każdy punkt $C = (x_{C}, y_{C})$ leżący na fragmencie paraboli $f$ między punktami $A$ i $B$ jest bliżej punktu $P$ niż punkt $B$ w obu współrzędnych:
$∣ x_{C} - x_{P} ∣ \leq ∣ x_{B} - x_{P} ∣ oraz ∣ y_{C} - y_{P} ∣ \leq ∣ y_{B} - y_{P} ∣$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 6.2, matura rozszerzona marzec 2022

Podobne zadania z działu pochodne