Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 97

5 pkt

Na okręgu jest opisany czworokąt

A B C D

. Bok

A D

tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku

A B

, a przekątna

B D

ma długość równą

6

. Ponadto spełnione są następujące warunki:

cos (∠ A D B) = \frac{7}{8}, ∣∠ B C D ∣ = 90°

oraz

∣ A B ∣ > 15

.

Oblicz długość boku

B C

tego czworokąta.

∣ B C ∣ = - 2 + 14

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wprowadzamy oznaczenie $a = ∣ A B ∣$ , wtedy $∣ A D ∣ = 2 a$ (rysunek poglądowy):

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zobacz plany Premium

Zadanie 14.1 Geometria analityczna

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

i

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz pole

P

trójkąta

A B C

jako funkcję zmiennej

m

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 14.2 Geometria analityczna

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

i

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz wszystkie wartości

m

, dla których trójkąt

A B C

jest ostrokątny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Dwa sześciany – jeden o krawędzi

2

i drugi o krawędzi

3

– pocięto na sześciany o krawędzi

1

. Z otrzymanych sześcianów zbudowano prostopadłościan. Żadna ściana tego prostopadłościanu nie jest kwadratem.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni zbudowanego prostopadłościanu jest równe

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Staś ma dwa jednakowe klocki w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, każdy o polu powierzchni całkowitej

80 cm^{2}

. Podstawa i ściana boczna klocka mają równe pola. Staś skleił oba klocki podstawami tak, jak na rysunku.

Jakie pole powierzchni ma bryła otrzymana przez Stasia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 2)^{n} \cdot n + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek

a_{3} + a_{5} = 58

. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy

Zadanie 15 Geometria przestrzenna

1 pkt

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prostego oraz podano długości niektórych jego krawędzi.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole największej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe $35$ .
Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $12$ .

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

o przeciwprostokątnej

A B

i obwodzie równym

4

. Niech

x = ∣ A C ∣

.

a) Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

jako funkcja zmiennej

x

jest określone wzorem

P (x) = \frac{x ( 4 - 2 x )}{4 - x}

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

P

.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Pochodne

6 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołki

A

i

B

leżą na wykresie funkcji

f

określonej wzorem

f (x) = \frac{9}{x ^{4}}

dla

x \neq = 0

. Punkt

C

ma współrzędne

(0, - \frac{1}{3})

, a punkty

A

i

B

są położone symetrycznie względem osi

O y

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne wierzchołków

A

i

B

, dla których pole trójkąta

A B C

jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 15 Ciągi

1 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(2, x, 18)

jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

Zadanie 15 Trygonometria

1 pkt

Kąt o mierze

α

jest ostry i

tg α = 5

. Wtedy

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności

144 m^{3}

. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać

9

metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

$100$ zł za $1 m^{2}$ dna
$75$ zł za $1 m^{2}$ ściany bocznej

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16 Planimetria

1 pkt

Na okręgu o środku w punkcie

O

leżą punkty

A

,

B

oraz

C

. Odcinek

A C

jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy

A O B

ma miarę

82°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

O B C

jest równa

Zadanie 16 Ułamki

2 pkt

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie

\frac{1}{2}

całej tabliczki, siostrze

\frac{5}{12}

całej tabliczki, a jemu

\frac{1}{6}

całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki