Zbiór zadań

Znaleziono 1232 zadania. Losuj z tych filtrów

1. Zapisujemy $32$ jako potęgę liczby $2$:
   $$32=2^5$$
2. Podstawiamy i korzystamy z zasady potęgowania potęgi:
   $$2^{-1}\cdot {\left(2^5\right)}^{\frac{3}{5}}=2^{-1}\cdot 2^3$$
3. Dodajemy wykładniki i obliczamy:
   $$2^{-1+3}=2^2=4$$

1. Z warunków $Q(4)=2$ oraz $Q(6)=18$ zapisujemy dwa równania:
   $$\begin{gathered} 2=Q_0\cdot {\beta }^{-4} \\ 18=Q_0\cdot {\beta }^{-6} \end{gathered}$$
2. Dzielimy te równania stronami, aby wyeliminować $Q_0$, i wyznaczamy $\beta$ (jako stałą dodatnią):
   $$\begin{array}{rl}& \frac{2}{18}=\frac{Q_0\cdot {\beta }^{-4}}{Q_0\cdot {\beta }^{-6}}={\beta }^2\\ & \frac{1}{9}={\beta }^2\\ & \beta =\frac{1}{3}\end{array}$$
3. Podstawiamy $\beta =\frac{1}{3}$ do pierwszego równania i wyznaczamy $Q_0$:
   $$2=Q_0\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-4}⟹Q_0=\frac{2}{81}$$
4. Obliczamy $Q(5)$:
   $$Q(5)=\frac{2}{81}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=\frac{2}{81}\cdot 3^5=6$$
5. W chwili $t=5$ s w kondensatorze był zgromadzony ładunek $6$ milikulombów.

1. Odczytujemy z diagramu czas nauki w poszczególne dni:
   

   • poniedziałek – $25$ minut
   • wtorek – $30$ minut
   • środa – $40$ minut
   • czwartek – $35$ minut
   • piątek – $50$ minut
   • sobota – $30$ minut
2. Sprawdzamy pierwsze zdanie – sumujemy czas nauki z czterech dni, od poniedziałku do czwartku:
   $$25+30+40+35=130$$
3. $130$ minut to $2$ godziny i $10$ minut – zdanie jest prawdziwe (P).
4. Sprawdzamy drugie zdanie – obliczamy, ile minut to $40\%$ mniej niż czas nauki w piątek ($50$ minut):
   $$50-0,4\cdot 50=50-20=30$$
5. Otrzymany wynik ($30$ minut) jest równy czasowi nauki w sobotę odczytanemu z diagramu – zdanie jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

1. Szukamy wśród zapisanych temperatur dwóch, które różnią się o $6$ °C – to temperatury w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie.
   $$-2-(-8)=6$$
2. Zatem w Szklarskiej Porębie było $-8$ °C, a w Karpaczu $-2$ °C.
3. Zostały dwie temperatury: $-5$ °C i $-3$ °C – to Zakopane i Wisła. W Wiśle było chłodniej niż w Zakopanem, więc w Wiśle było $-5$ °C, a w Zakopanem $-3$ °C.
4. Temperaturę $-5$ °C zanotowano więc w Wiśle (odpowiedź D).

1. Nierówność z wartością bezwzględną rozbijamy na podwójną nierówność:
   $$-3<x+1<3$$
2. Odejmujemy $1$ od każdej strony:
   $$-4<x<2$$
3. Liczbami całkowitymi spełniającymi tę nierówność są $-3,-2,-1,0,1$ — jest ich pięć.

1. W $100$ g śmietany jest $3$ g białka. Porcja $200$ g jest dwa razy większa, więc białka jest w niej dwa razy więcej:
   $$2\cdot 3\text{ g}=6\text{ g}$$
2. Zamieniamy gramy na dekagramy, wiedząc że $1$ dag $=10$ g:
   $$6\text{ g}=0,6\text{ dag}$$
3. Stosunek masy tłuszczu do masy soli jest taki sam w każdej porcji (obie masy rosną proporcjonalnie do wielkości porcji), więc liczymy go dla danych z tabeli:
   $$\frac{18}{0,15}=120$$
4. W opakowaniu $200$ g śmietany jest $0,6$ dag białka (odpowiedź A), a masa tłuszczu jest $120$ razy większa od masy soli (odpowiedź D).

1. Nierówność $|x-1|\ge 3$ oznacza, że liczba $x-1$ jest oddalona od zera o co najmniej $3$, czyli spełnia jedną z dwóch nierówności:
   $$x-1\ge 3\text{lub}x-1\le -3$$
2. Rozwiązujemy obie nierówności:
   $$\begin{array}{rl}& x-1\ge 3\\ & x\ge 4\end{array}\begin{array}{rl}& x-1\le -3\\ & x\le -2\end{array}$$
3. Zbiorem rozwiązań jest suma obu przedziałów, z domkniętymi końcami (bo nierówność jest nieostra): $(-\infty ,-2]\cup [4,+\infty )$. Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar na zewnątrz $[-2,4]$ z wypełnionymi (domkniętymi) kółkami w punktach $-2$ i $4$ — czyli rysunek B.

1. Wartość bezwzględna $|x+4|=7$ oznacza, że wyrażenie pod modułem jest równe $7$ albo $-7$:
   $$\begin{array}{rl}& x+4=7\\ & x+4=-7\end{array}$$
2. Rozwiązujemy oba równania:
   $$x_1=3,x_2=-11$$
3. Obliczamy sumę rozwiązań:
   $$x_1+x_2=3+(-11)=-8$$