Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 143

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x (1 - x) + 1 - x < 0

.

x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Wyłączamy wspólny czynnik $(1 - x)$ przed nawias.
$(1 - x) (2 x + 1) < 0$
2
Lewa strona jest trójmianem kwadratowym. Jego pierwiastki to liczby, dla których każdy czynnik jest równy zero.
$1 - x = 0 x_{1} = 1 2 x + 1 = 0 x_{2} = - \frac{1}{2}$

Zadanie 26 Nierówności

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x^{2} - 3 x > 5

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

jest parabola, na której leży punkt

A = (0, - 5)

. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu

x = 7

. Oblicz wartości współczynników

b

i

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} - 7 x^{2} - 4 x + 28 = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{3} + 27) (x^{2} - 16) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 27 Równania

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{3} + 125) (x^{2} - 64) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Dowody algebraiczne

2 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich

a

,

b

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} \geq \frac{2}{a + b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Dowody podzielności

2 pkt

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez

8

jest równa

6

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Dowody algebraiczne

2 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich

a

,

b

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a} + \frac{1}{2 b} \geq \frac{2}{a + b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 28 Dowody geometryczne

2 pkt

W równoległoboku

A B C D

punkt

E

jest środkiem boku

B C

. Z wierzchołka

D

poprowadzono prostą przecinającą bok

B C

w punkcie

E

. Proste

A B

i

D E

przecinają się w punkcie

F

(zobacz rysunek). Wykaż, że punkt

B

jest środkiem odcinka

A F

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Dowody algebraiczne

2 pkt

Wykaż, że jeżeli

a

i

b

są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to

(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Dowody geometryczne

2 pkt

Dany jest prostokąt

A B C D

. Na boku

C D

tego prostokąta wybrano taki punkt

E

, że

∣ E C ∣ = 2∣ D E ∣

, a na boku

A B

wybrano taki punkt

F

, że

∣ B F ∣ = ∣ D E ∣

. Niech

P

oznacza punkt przecięcia prostej

E F

z prostą

B C

(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty

A E D

i

F P B

są przystające.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Dowody geometryczne

2 pkt

Okręgi o środkach odpowiednio

A

i

B

są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku

A

jest równy

2

.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku

B

jest mniejszy od

2 - 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 29 Dowody geometryczne

2 pkt

Okręgi o środkach odpowiednio

A

i

B

są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku

A

jest równy

2

.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku

B

jest mniejszy od

2 - 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 30 Ciągi

2 pkt

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

34

, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa

110

. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki