Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 29

3 pkt

Miary kątów trójkąta

A B C

są równe

α = ∣ ∢ B A C ∣

,

β = ∣ ∢ A B C ∣

i

γ = ∣ ∢ A C B ∣

. Punkt

S

jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki

A S

i

B S

przecinają boki

B C

i

A C

tego trójkąta w punktach odpowiednio

D

i

E

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli

α + β = 2 γ

, to na czworokącie

D C E S

można opisać okrąg.

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt $A B C$ , więc proste $A S$ i $B S$ są dwusiecznymi kątów $B A C$ i $A B C$ . Stąd:
$∣ ∢ B A S ∣ = \frac{α}{2} ∣ ∢ A B S ∣ = \frac{β}{2}$

Zadanie 8 Prawdopodobieństwo

3 pkt

W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku:

2

kule białe i

3

kule czerwone, a w drugim pudełku:

1

kulę białą i

4

kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 8 Dowody geometryczne

3 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

bok

A B

ma długość

c

, długość boku

B C

jest równa

a

oraz

∣ ∢ A B C ∣ = β

. Dwusieczna kąta

A B C

przecina bok

A C

trójkąta w punkcie

E

.
Wykaż, że długość odcinka

B E

jest równa

\frac{2 a c \cdot cos \frac{β}{2}}{a + c}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Geometria przestrzenna

4 pkt

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość

6

, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna

π

, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej

\frac{8}{27}

objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka

S

kuli od płaszczyzny

π

, tj. długość najkrótszego spośród odcinków

S P

, gdzie

P

jest punktem płaszczyzny

π

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Kombinatoryka

4 pkt

Z cyfr

0

,

1

,

2

tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez

15

. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 9 Planimetria

6 pkt

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa

36

, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy

10

. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Geometria przestrzenna

6 pkt

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach

\frac{π}{3}

i

α

. Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy

\frac{6}{4}

. Wyznacz miarę kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x + 3 cos x = - 2

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 10 Ciągi

5 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny, a ciąg

(b_{n})

jest geometryczny. Pierwszy wyraz

a_{1}

ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego

(b_{n})

. Wyrazy ciągu

(a_{n})

są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

124

. Natomiast pierwszy wyraz

b_{1}

ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego

(a_{n})

. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

(b_{n})

jest równa

18

. Wyznacz te ciągi.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Trygonometria

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 sin (x - \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{4}) = 1

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 11 Prawdopodobieństwo

4 pkt

W pudełku znajduje się

8

piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od

1

do

8

. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez

4

. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Geometria analityczna

5 pkt

Prosta

l

, na której leży punkt

P = (8, 2)

, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym

36

. Wyznacz równanie prostej

l

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 12 Funkcja kwadratowa

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

i

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Funkcja kwadratowa

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(- \infty, 3)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 13 Geometria analityczna

5 pkt

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty

A = (- 5, 3)

i

B = (0, 6)

, którego środek leży na prostej o równaniu

x - 3 y + 1 = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki