Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 25

7 pkt

Dany jest okrąg o środku

S

i promieniu

18

. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku

S_{1}

i promieniu

x

oraz drugi o środku

S_{2}

i promieniu

2 x

, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$ ;
punkty: $S$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach

a

,

b

,

c

można obliczyć ze wzoru Herona

P = p (p - a) (p - b) (p - c)

, gdzie

p

- jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta

S S_{1} S_{2}

jako funkcję zmiennej

x

. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

P (x) = 108 x^{2} (6 - x)

,

x \in (0, 6)

; boki:

∣ S S_{1} ∣ = 14

,

∣ S S_{2} ∣ = 10

,

∣ S_{1} S_{2} ∣ = 12

;

P_{m a x} = 246

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Okręgi o środkach $S_{1}$ i $S_{2}$ są styczne wewnętrznie do dużego okręgu, więc odległość środka dużego okręgu od środka mniejszego to różnica promieni. Okręgi $S_{1}$ i $S_{2}$ są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków to suma promieni. Mamy więc boki trójkąta $S S_{1} S_{2}$ .

Zadanie 15 Pochodne

7 pkt

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

V = 2

. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Niech

L = lo g_{2} 2 \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4

. Wtedy

Zadanie 1 Wartość bezwzględna

4 pkt

Rozwiąż równanie

3∣ x + 2∣ = ∣ x - 3∣ + 11

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Dane są liczby:

a = \frac{4 8}{2}

,

b = \frac{1}{2 4 8}

,

c = 48

,

d = \frac{2}{4 8}

oraz

k = 2^{- \frac{1}{4}}

. Prawdziwa jest równość

Zadanie 2 Wartość bezwzględna

1 pkt

Równanie

∣ x ∣ - 2 = ∣ x ∣ + 2

Zadanie 2 Ciągi

5 pkt

Liczby

a

,

b

,

c

, spełniające warunek

3 a + b + 3 c = 77

, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg

(a, b + 1, 2 c)

jest geometryczny. Wyznacz liczby

a

,

b

,

c

oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Geometria analityczna

1 pkt

Okrąg o równaniu

(x - 3)^{2} + (y + 7)^{2} = 625

jest styczny do okręgu o środku

S = (12, 5)

i promieniu

r

. Wynika stąd, że

Zadanie 3 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Liczba

(1 - 2)^{2} + (2 - 2)^{2}

jest równa

Zadanie 3 Planimetria

5 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = a

,

∣ ∢ B A D ∣ = 6 0^{\circ}

i

∣ ∢ A D C ∣ = 13 5^{\circ}

. Oblicz pole czworokąta

A B C D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Logarytmy

1 pkt

Wartość wyrażenia

2 lo g_{5} 10 - \frac{1}{lo g _{20} 5}

jest równa

Zadanie 4 Wartość bezwzględna

1 pkt

Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.

Zadanie 4 Prawdopodobieństwo

4 pkt

Z liczb ośmioelementowego zbioru

Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy nie powtarzają się. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 4 Granice

1 pkt

Granica

x \to 3^{-} lim \frac{- x + 2}{x ^{2} - 5 x + 6}

jest równa

Zadanie 5 Funkcje

2 pkt

Punkt

A = (- 5, 3)

jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem

f (x) = \frac{a x + 7}{x + d}

, gdy

x \neq = - d

. Oblicz iloraz

\frac{d}{a}

.
W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zbiór zadań

Wyniki