Dany jest okrąg o środku S i promieniu 18.… - Matura rozszerzona czerwiec 2019, zadanie 15, rozwiązanie

Zadanie 15, matura rozszerzona czerwiec 2019

7 pkt

Dany jest okrąg o środku

S

i promieniu

18

. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku

S_{1}

i promieniu

x

oraz drugi o środku

S_{2}

i promieniu

2 x

, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$ ;
punkty: $S$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach

a

b

c

można obliczyć ze wzoru Herona

P = p (p - a) (p - b) (p - c)

, gdzie

p

- jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta

S S_{1} S_{2}

jako funkcję zmiennej

x

. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Poprawna odpowiedź

P (x) = 108 x^{2} (6 - x)

x \in (0, 6)

; boki:

∣ S S_{1} ∣ = 14

∣ S S_{2} ∣ = 10

∣ S_{1} S_{2} ∣ = 12

;

P_{m a x} = 246

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Okręgi o środkach $S_{1}$ i $S_{2}$ są styczne wewnętrznie do dużego okręgu, więc odległość środka dużego okręgu od środka mniejszego to różnica promieni. Okręgi $S_{1}$ i $S_{2}$ są styczne zewnętrznie, więc odległość ich środków to suma promieni. Mamy więc boki trójkąta $S S_{1} S_{2}$ .
$∣ S S_{1} ∣ = 18 - x ∣ S S_{2} ∣ = 18 - 2 x ∣ S_{1} S_{2} ∣ = x + 2 x = 3 x$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zadanie 15, matura rozszerzona czerwiec 2019