Zbiór zadań: matura i egzamin ósmoklasisty z matematyki, strona 13

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta

l

o równaniu

x - y - 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = 4 x^{2} - 7 x + 1

w punktach

A

oraz

B

. Odcinek

A B

jest średnicą okręgu

O

. Punkt

C

leży na okręgu

O

nad prostą

l

, a kąt

B A C

jest ostry i ma miarę

α

taką, że

tg α = \frac{1}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu

C

. Zapisz obliczenia.

C = (\frac{11}{10}, - \frac{3}{10})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkty $A$ i $B$ leżą na prostej i na paraboli. Z równania prostej $l$ mamy $y = x - 2$ , więc wstawiamy to do równania paraboli.
$x - 2 = 4 x^{2} - 7 x + 1 - 4 x^{2} + 8 x - 3 = 0 / \cdot (- 1) 4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Zadanie 15 Geometria analityczna

7 pkt

Okrąg

o_{1}

o środku w punkcie

S_{1}

jest określony równaniem

(x - 6)^{2} + (y + 1)^{2} = 16

. Okrąg

o_{2}

ma środek w punkcie

S_{2}

takim, że

S_{1} S_{2} = [- 4, 4]

. Promienie tych okręgów są sobie równe.
Figura

F

składa się z dwóch okręgów:

o_{1}

oraz

o_{2}

. Punkty

M

i

N

są punktami przecięcia figury

F

z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.
Wyznacz punkt

K

, leżący na jednej z osi symetrii figury

F

, taki, że pole trójkąta

M N K

jest równe

40

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16.1 Geometria analityczna

3 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

,

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

a) Wykaż, że dla

m \in (4, + \infty)

pole

P

trójkąta

A B C

, jako funkcja zmiennej

m

, wyraża się wzorem

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 16.2 Pochodne

4 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

,

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

b) Oblicz tę wartość

m

, dla której funkcja

P

osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej

B C

, przy której funkcja

P

osiąga tę najmniejszą wartość.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 27 - lo g_{27} 3

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

1 pkt

Wiadomo, że

lo g_{5} 2 = a

i

lo g_{5} 3 = b

. Wtedy liczba

lo g_{18} 40

jest równa

Zadanie 1 Logarytmy

3 pkt

Dane są liczby

a = lo g_{2} 3

oraz

b = lo g_{3} 7

.

Wyraź

lo g_{4} 49

za pomocą liczb

a

oraz

b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 1 Logarytmy

2 pkt

Oblicz

\frac{lo g _{3} 5 \cdot lo g _{25} 27}{lo g _{7} 6 49}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Pochodne

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} - 8}{x - 2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 2

.
Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu

x = \frac{1}{2}

jest równa

Zadanie 2 Pochodne

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

P = (- 3, - 3)

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2 Granice

1 pkt

Granica

x \to - 3 lim \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 , 5 x + 6}{- x ^{2} + 2 x + 15}

jest równa

Zadanie 2.1 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

.

Fragment wykresu funkcji

g

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja

g

przyjmuje w przedziale

[9, 11]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 2.2 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

.

Fragment wykresu funkcji

g

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru

m

, dla których równanie

g (x) = ∣ m ∣

ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Ciągi

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

7

, a suma

S

wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

8

.

Wyznacz wszystkie wartości

n

, dla których spełniona jest nierówność

\frac{S - S _{n}}{S _{n}} < 0, 001

gdzie

S_{n}

oznacza sumę

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zadanie 3 Geometria analityczna

1 pkt

Sumą wektorów

a = [2 + 2 m, \frac{2}{3} n + 1]

oraz

b = [n + 1, m + 2]

jest wektor

c = [0, 0]

.
Wynika stąd, że

Zbiór zadań

Wyniki