Granica lim_(x → -3) (0,5x²+3,5x+6)/(-x²+2x+15) jest równa

Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2022

1 pkt

Granica

x \to - 3 lim \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 , 5 x + 6}{- x ^{2} + 2 x + 15}

jest równa

\frac{1}{16}

1
Wstawiamy $x = - 3$ do licznika i mianownika. Oba są równe zero, więc granicy nie da się policzyć od razu.
$0, 5 \cdot (- 3)^{2} + 3, 5 \cdot (- 3) + 6 = 4, 5 - 10, 5 + 6 = 0 - (- 3)^{2} + 2 \cdot (- 3) + 15 = - 9 - 6 + 15 = 0$
2
Liczba $- 3$ zeruje oba trójmiany, więc w obu rozkładach pojawi się czynnik $(x + 3)$ . Z licznika wyłączamy $0, 5$ , a z mianownika $- 1$ . Trójmiany w nawiasach rozkładamy, szukając dwóch liczb, których iloczyn jest równy wyrazowi wolnemu, a suma współczynnikowi przy $x$ .
$0, 5 x^{2} + 3, 5 x + 6 = 0, 5 (x^{2} + 7 x + 12) = 0, 5 (x + 3) (x + 4) - x^{2} + 2 x + 15 = - (x^{2} - 2 x - 15) = - (x + 3) (x - 5)$
3
Skracamy $(x + 3)$ i dopiero teraz wstawiamy $x = - 3$ .
$x \to - 3 lim \frac{0 , 5 ( x + 3 ) ( x + 4 )}{- ( x + 3 ) ( x - 5 )} = x \to - 3 lim \frac{0 , 5 ( x + 4 )}{- ( x - 5 )} \frac{0 , 5 \cdot ( - 3 + 4 )}{- ( - 3 - 5 )} = \frac{0 , 5}{8} = \frac{1}{16}$