Na rysunku przedstawiony jest przedział (−10,k⟩, gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa 21.
Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x)=31x−1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.
2
Dzielimy przez −6. Liczba jest ujemna, więc zmieniamy znak nierówności na przeciwny.
x<61
3
Zbiorem rozwiązań jest przedział (−∞,61).
k=9
k=11
k=21
k=31
B. k=11
1
Liczby całkowite z przedziału (−10,k⟩ to −9,−8,…,k. Liczby przeciwne się znoszą, więc suma od −9 do 9 jest równa 0.
−9+(−8)+…+8+9=0
2
Do sumy 21 brakuje liczb większych od 9. Sprawdzamy: 10+11=21.
10+11=21
3
Ostatnią liczbą całkowitą w przedziale jest więc 11, czyli k=11.
a=13
a=1
a=0
a=13+1
B. a=1
1
Lewą stronę przekształcamy ze wzoru skróconego mnożenia (p+q)2=p2+2pq+q2.
(a+23)2=a2+4a3+12
2
Porównujemy z prawą stroną 13+43. Równość zajdzie, gdy zgodzą się osobno składniki bez pierwiastka i składniki z 3.
3
Oba warunki spełnia a=1, bo wtedy a2+12=13 oraz 4a3=43.
ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
nie ma rozwiązań.
A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
1
Zakładamy, że mianownik nie jest zerem, czyli x=−21. Mnożymy równanie przez 2x+1.
x(2x+1)−1=02x2+x−1=0
2
Liczymy deltę i pierwiastki.
Δ=1−4⋅2⋅(−1)=9x1=4−1−3=−1x2=4−1+3=21
3
Oba pierwiastki spełniają założenie x=−21, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
x1+x2=−8
x1+x2=−2
x1+x2=2
x1+x2=8
C. x1+x2=2
1
Wzór jest w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe odczytujemy z nawiasów. Iloczyn jest równy 0, gdy któryś z czynników jest równy 0.
x+3=0x1=−3x−5=0x2=5
2
Dodajemy miejsca zerowe.
x1+x2=−3+5=2
⎩⎨⎧y=−2x+8y=−23x+213
⎩⎨⎧y=2x−4y=−21x+27
⎩⎨⎧y=x−1y=21x+21
⎩⎨⎧y=3x−7y=−32x+4
B. ⎩⎨⎧y=2x−4y=−21x+27
1
Z rysunku odczytujemy punkt przecięcia prostych: (3,2). Rozwiązaniem układu jest więc x=3, y=2.
2
W każdym układzie obie proste przechodzą przez punkt (3,2), więc rozstrzygamy po współczynnikach kierunkowych. Prosta rosnąca na rysunku przechodzi przez punkty (2,0) i (3,2), więc jej współczynnik kierunkowy to 2. Prosta malejąca przechodzi przez (3,2) i (5,1), więc jej współczynnik kierunkowy to −21. Pasuje tylko układ B.
x1+x2=−8
x1+x2=−2
x1+x2=2
x1+x2=8
C. x1+x2=2
1
Wzór jest podany w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe odczytujemy wprost. Iloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest równy zero.
x+3=0x=−3x−5=0x=5
2
Dodajemy miejsca zerowe.
x1+x2=−3+5=2
ma trzy rozwiązania: x=−2, x=0, x=2
ma dwa rozwiązania: x=0, x=2
ma dwa rozwiązania: x=−2, x=2
ma jedno rozwiązanie: x=0
D. ma jedno rozwiązanie: x=0
1
Ułamek nie może mieć w mianowniku zera, więc najpierw wyznaczamy dziedzinę równania.
x2−4=0(x−2)(x+2)=0x=2 i x=−2
2
Ułamek jest równy 0, gdy jego licznik jest równy 0. Rozkładamy licznik na czynniki.
x2+2x=0x(x+2)=0x=0 lub x=−2
3
Liczba −2 nie należy do dziedziny, więc odrzucamy ją. Równanie ma jedno rozwiązanie.
x=0
ma trzy rozwiązania: x=−2, x=0, x=2
ma dwa rozwiązania: x=0, x=−2
ma dwa rozwiązania: x=−2, x=2
ma jedno rozwiązanie: x=0
D. ma jedno rozwiązanie: x=0
1
Mianownik nie może być równy zero. Wyznaczamy dziedzinę równania.
x2−4=0(x−2)(x+2)=0x=2 i x=−2
2
Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero.
x2+2x=0x(x+2)=0x=0 lub x=−2
3
Liczba −2 nie należy do dziedziny, więc odrzucamy ją. Zostaje tylko jedno rozwiązanie x=0.
−2
2
4
−4
C. 4
1
Zakładamy, że x=−2. Korzystamy z własności proporcji (mnożymy „na krzyż”).
9(x−2)=3(x+2)9x−18=3x+66x=24x=4
2
Liczba 4 spełnia założenie x=−2, więc jest rozwiązaniem równania.
2
0
1
6
D. 6
1
Rozszerzamy ułamek tak, żeby w mianowniku było 9999. Wtedy łatwo odczytać okres.
1111224=1111⋅9224⋅9=99992016=0,(2016)
2
Okres ma cztery cyfry: 2,0,1,6. Liczba 20 dzieli się przez 4, więc dwudziesta cyfra jest ostatnią cyfrą okresu, czyli 6.
Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,31).
Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1).
Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,31).
Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1).
D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1).
1
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca, gdy a>0. Tutaj a=31>0, więc funkcja f jest rosnąca.
2
Wykres przecina oś Oy w punkcie (0,b). Tutaj b=−1, więc to punkt P=(0,−1).
f(0)=31⋅0−1=−1
nie istnieje.
ma współrzędne (1,0).
ma współrzędne (0,1).
ma współrzędne (0,0).
C. (0,1)
1
Wzór funkcji g wyznaczamy, wstawiając −x do wzoru funkcji f.
g(x)=f(−x)=3−x
2
Punkt wspólny to miejsce, w którym wartości obu funkcji są równe. Porównujemy wzory.
3x=3−xx=−xx=0
3
Obliczamy drugą współrzędną punktu wspólnego.
f(0)=30=1
4
Punkt wspólny ma współrzędne (0,1), czyli poprawna jest odpowiedź C.
0
220−2
219
4−210
B. 220−2
1
Zapisujemy wszystkie potęgi o podstawie 2, bo 8=23 oraz 4=22.
220⋅(22)10(23)20−2⋅(22)20=220⋅220260−2⋅240
2
Upraszczamy licznik i mianownik.
240260−241
3
Dzielimy każdy składnik licznika przez mianownik.
240260−240241=220−2
Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,31).
Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1).
Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,31).
Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1).
D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1).
1
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest dodatni. Tutaj a=31, więc funkcja jest rosnąca. Odpada A i B.
a=31>0
2
Wykres przecina oś Oy w punkcie o współrzędnej x=0, więc liczymy f(0).
f(0)=31⋅0−1=−1
3
Wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,−1), więc prawdziwe jest zdanie D.